Sui sistemi di equazioni a derivate parziali d'ordine qualunque, con una sola funzione incognita, lineari ed a coefficienti costanti. (Q2596753)

Es seien \(\mathfrak A_if\) (\(i = 1,\,\ldots,\, n\)) lineare Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten in den Variablen \(x_1,\,\ldots,\, x_r\) bezüglich einer Funktion \(f\). Sie lassen sich in bekannter Weise auf einen kommutativen Polynomring abbilden; es seien \(A_i (x_1,\ldots, x_r)\) die zugeordneten Polynome. Dann kann man sich die Ergebnisse der Resultantentheorie zur Lösung des Differentialsystems \(\mathfrak A_i f = u_i\) (\(i = 1,\,\ldots,\, n\)) zu Nutze machen. Haben nämlich die \(n\) Hyperflächen \(A_i = 0\) keine eigentlichen Punkte gemein, so kann man stets Polynome \(P_i\) bestimmen, derart daß \[ \sum_{i=1}^n P_iA_i=1 \] ist, und mittels der zugeordneten Operatoren \(\mathfrak P_i\) ergibt sich die Lösung des Differentialsystems zu \[ f=\sum_{i=1}^n \mathfrak P_i u_i, \] also durch bloße Differentiationen. An einem Beispiel illustriert Verf. den praktischen Wert dieses Satzes und berichtigt die vorstehend besprochene Arbeit von \textit{T. Boggio} Haben die Hyperflächen \(A_i= 0\) eine \(s\)-dimensionale Mannigfaltigkeit gemein, so genügt \(f\) auch einer partiellen, linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, in der nur die Ableitungen nach \(s + 1\) unter den Variablen \(x_1,\,\ldots,\,x_r\) auftreten.