Zur dynamischen Theorie der Raumgitterbeugung. I, II. (Q2596869)

\textbf{I.} Verf. behandelt die Raumgitterbeugung nach den Methoden der Störungsrechnung, angewandt auf eine dreidimensionale Hillsche Differentialgleichung, und zeigt, daß die bekannte dynamische Theorie der Raumgitterbeugung als ``nullte'' Näherungslösung erhalten wird. Bei der Behandlung des ``Binnenproblems'', d. h. der homogenen Wellenfelder innerhalb des Gitters, geht er von der das Streuvermögen des Mittels berücksichtigenden Wellengleichung aus. Es wird vorausgesetzt, daß das Streuvermögen \(S (\mathfrak r)\) raumgitterartig um einen Zell-Mittelwert \(\overline S\) schwanke, daß die relativen Schwankungen aber von der Größenordnung \(\varkappa\ll 1\) sind. Es ergibt sich so die dreidimensionale Hillsche Differentialgleichung \(\varDelta u + k^2u + \varkappa \left(\sum\limits_{\mathfrak g}S_{\mathfrak g} e^{i\mathfrak{gr}}\right)u= 0\), die durch Entwicklung der Eigenwerte und Eigenfunktionen nach Potenzen von \(\varkappa\) zu lösen ist. Die ``erste'' Näherung ergibt ein als ``Gitterwelle mit Ausbreitung \(\mathfrak k\)'' bezeichnetes ``elementares Wellenfeld'', das aus unendlich vielen Partialwellen zusammengesetzt ist, unter denen \textit{eine} Welle \(u_0 = e^{i\mathfrak{kr}}\) mit \(\mathfrak k^2 = k^2\) durch ihre ganz überwiegende Amplitude hervorsticht. Dies gilt \textit{nicht} mehr, wenn sich die Spitze des Vektors \(\mathfrak k\) einer der ``Sperrflächen'' \(2(\mathfrak{kh})+\mathfrak h^2 = 0\) bis auf Abstände der Größenordnung \(\varkappa k\) nähert, wo \(\mathfrak h\) ein Gittervektor des \(2\pi\)-fach linear vergrößerten reziproken Gitters ist. In diesem Fall existieren schon in militer Näherung \textit{mehrere} endliche elementare Wellenfelder aus sogenannten ``starken Strahlen'', die in der ersten Näherung dann durch unendlich viele ``schwache Strahlen'' zu als ``Gitterwellenbündel'' bezeichneten unendlichen Wellenfeldern ergänzt werden, die mit den ``Bündeln starker Strahlen'' der dynamischen Theorie identisch sind. -- In entsprechender Weise wird dann die Frage nach der Fortsetzung einer aus dem Außenraum auf die Berandung des ``halben Kristalls'' einfallenden Welle \(u = u_{\text{einf}}e^{i\mathfrak k_0\mathfrak r}\) im Kristallinnern behandelt. Im allgemeinen findet der auffallende Strahl im Kristall seine Fortsetzung durch einen ``starken'' Strahl gleicher Tangentialkomponente \(\mathfrak k_t\). Fällt der so gefundene Ausbreitungsvektor \(\mathfrak k\) mit seiner Spitze aber in einen Sperrbereich des \(\mathfrak k\)-Raumes, so ist die Fortsetzung des Randzustandes ins Innere des Kristalls nur mit den oben erklärten ``Gitterwellenbündeln'' möglich. Auch die Totalreflexion wird entsprechend behandelt. \textbf{II.} In den ``Gitterwellenbündeln'' sind mehrere ``starke'' Wellen dynamisch gekoppelt, derart, daß sie sich durch fortgesetzte Beugung gerade gegenseitig aufrecht erhalten. Da das Kopplungsproblem indessen mathematisch nicht in allen Fällen lösbar ist und auch in den lösbaren Fällen zu sehr komplizierten Formeln führt, die sich nicht leicht anschaulich deuten lassen, entwickelt Verf. in dem vorliegenden Teil II ein qualitatives Verfahren, das an anschaulichen Modellen der Eigenwertfläche bzw. ``Dispersionsfläche'' die typischen Fälle zu ordnen gestattet und die mathematische Behandlung vereinfacht. Er diskutiert -- zunächst für die eindimensionale Mathieusche Differentialgleichung, sodann für die zwei- sowie für die dreidimensionale Hillsche Differentialgleichung -- die Eigenwert- bzw. Frequenzfläche über dem \(\mathfrak k\)-Raum und zeigt, daß sich die Gitterwellenbündel durch Punkte in den Sperrbereichen des \(\mathfrak k\)-Raumes darstellen lassen. Es folgt eine Diskussion bzgl, der Schnitte der Eigenwertflache im Durchdringungsgebiet mehrerer Sperrbereiche, um deren gleichzeitige Wirksamkeit zu untersuchen. Nach diesen allgemeinen Betrachtungen folgt eine genauere theoretische Untersuchung der Eigenwertfläche und ihrer Schnittfigur bei Kopplung mehrerer Strahlen.