Polygonal variations. (Q2596888)

In dieser Arbeit werden für das einfachste Variationsproblem (aber die Methode ist auf den Fall der Parameterdarstellung oder den Fall mehrerer Funktionen übertragbar) die notwendigen Bedingungen von Weierstraß, Euler und Legendre bewiesen nur unter der Voraussetzung der Stetigkeit von \(f(x, y, y')\) und der Existenz und Stetigkeit von \(f_{y'}\), und zwar mit den einfachsten Mitteln, nämlich mit Hilfe von stückweise linearen Variationen in Form von Dreiecken oder Trapezen. Die Euler-Gleichung in integrierter Form erhält die Gestalt \[ \partial I = f_{y'}\bigl(b, y(b), y'(b)\bigr)-f_{y'}\bigl(a, y (a), y'(a) \bigr) \] für jedes Teilintervall \((a, b)\) des betrachteten Extremalenbogens; dabei ist die ``partielle Variation'' \(\partial I\) durch \[ \partial I = \lim_{\varepsilon\to0} \frac1\varepsilon \int\limits_a^b \bigl\{f\bigl(x, y(x) + \varepsilon, y' (x)\bigr) - f\bigl(x, y (x), y'(x) \bigr)\bigr\}\, dx \] definiert -- also \(\partial I = \int\limits_a^b f_y\,dx\), falls \(f_y\) existiert. Bei der Legendre-Bedingung wird \(f_{y'y'}\) durch die verallgemeinerte zweite Ableitung \[ L = \lim_{m\to0} \frac1{m^2} \bigl\{ f(x, y, y' + m)-2f(x, y, y') + f (x, y,y-m)\bigr\} \] ersetzt; wenn ein schwaches Minimum vorhanden ist und wenn \(L\) existiert, dann ist \(L\geqq0\).