Differentiation of line integrals by parallel displacement. (Q2596895)

Für das Linienintegral \[ I=\int\limits_{(x_0, \,y_0)\atop C}^{(a, \,b)} M(x, \,y) \,dx+N(x, \,y) \,dy \] werden partielle Ableitungen \(\dfrac{\partial I_i^k}{\partial x}\) nach \(x\) und \(\dfrac{\partial I_i^k}{\partial y}\) nach \(y\) definiert, indem das zwischen zwei beliebigen auf der Integrationskurve \(C\) gelegenen Punkten \((x_i, \,y_i)\) und \((x_k, \,y_k)\) verlaufende Wegstück zwecks Bildung der zugehörigen Differenzenquotienten parallel zu sich selber entweder in der Richtung der \(x\)- oder der \(y\)-Achse verschoben wird. Resultat: \[ \frac{\partial I_i^k}{\partial x}=M(x_i, \,y_i)-M(x_k, \,y_k)+ \int\limits_{(x_i, \,y_i)\atop (C)}^{(x_k, \,y_k)} (M_x \,dx+N_x \,dy), \] \[ \frac{\partial I_i^k}{\partial y}=N(x_i, \,y_i)-N(x_k, \,y_k)+ \int\limits_{(x_i, \,y_i)\atop C}^{(x_k, \,y_k)} (M_y \,dx+N_y \,dy) \] \[ (\text{wobei } (x_i, \,y_i) \text{ auf } C\; vor \; (x_k, \,y_k) \text{ gelegen ist }!). \] Verf. bedient sich bei der Herleitung der Formeln der schon früher (New basic critical equations and methods in the calculus of variations, Philos. Mag., London, (7) 23 (1937), 114-153; F.~d.~M. 63\(_{\text{II}}\)) von ihm befolgten Methode, 1) das Integral durch endliche Summen anzunähern und 2) die endlichen Differenzen \(\varDelta x_i\) und \(\varDelta y_i\) in diesen Näherungsausdrücken als unabhängige Variable zu verwenden.