Sur la condition d' ``équivalence partielle.'' (Q2596931)

Abzählbar viele Ereignisse \(E_1, E_2, \ldots \!, E_h, \ldots\) heißen äquivalent, wenn die Wahrscheinlichkeit \(\omega_n\), daß \(n\) vorgegebene Ereignisse \(E_{i_1}, \,E_{i_2}, \ldots \!, E_{i_n}\) eintreten, nur von \(n\) abhängt, nicht aber von den \(i_{\nu}\). Die Wahrscheinlichkeit \(\omega_r^{(n)}\), daß unter \(n\) bestimmten Ereignissen \(r\) eintreten und \(n - r\) nicht, läßt sich leicht durch \(\omega_r, \,\omega_{r+1}, \ldots \!, \omega_n\) ausdrücken und strebt mit wachsendem \(n\) einer Grenzverteilung \(\varPhi(\zeta)\) zu, deren Momente die \(\omega_n\) sind: \[ \omega_n=\int\limits_{0}^{1} \zeta^n \,d \varPhi(\zeta), \quad \omega_r^{(n)}= {n\choose r} \int\limits_{0}^{1} \zeta^r \, (1-\zeta)^{n-r} \,d \varPhi(\zeta). \] \(P_{\zeta}(E)\) sei die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses \(E\), wenn die \(E_h\) unabhängige Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit \(\zeta\) für ein Eintreffen wären. Die Wahrscheinlichkeit schlechthin für das Eintreten von \(E\) wird geschrieben in der Form \[ P(E)=\int\limits_{0}^{1} P_{\zeta}(E) \,d \varPhi(\zeta). \] Hat bei \(n\) Proben \(h\)-mal das Ereignis stattgefunden und \(k\)-mal nicht, so wird die ``a posteriori''-Wahrscheinlichkeit für den Eintritt von \(E\) \[ \overline{P} = \int\limits_{0}^{1} P_{\zeta}(E) \, d \overline{\varPhi}(\zeta) \] mit \[ \overline{\varPhi}(\zeta) = \int\limits_{0}^{\zeta} \zeta^h (1-\zeta)^k \, d \varPhi(\zeta): \int\limits_{0}^{1} \zeta^h (1-\zeta)^k \, d \varPhi(\zeta). \] Diese bekannten Überlegungen werden in gleichfalls bekannter Weise ausgedehnt auf den Fall von \(q\) Ereignisreihen, deren jede für sich äquivalent ist. Es folgen erkenntnistheoretische Ausdeutungen, vor allem hinsichtlich des Kausalitätsprinzips.