Dependent probabilities and spaces \((L)\). (Q2596995)

Die Arbeit gibt eine Formulierung der Theorie abhängiger Wahrscheinlichkeiten in neuen Ausdrücken. Der zugrundeliegende Raum ist irgendein Raum \(\varSigma\), der den folgenden sechs Postulaten genügt: (1) \(\varSigma\) ist ein linearer Raum mit reellen Skalaren, und in \(\varSigma\) ist eine Relation \(f>0\) definiert; (2) Ist \(f>0\) und \(g > 0\), so ist \(f+g>0\); (3) Ist \(f>0\) und \(\lambda\) ein positiver Skalar, so ist \(\lambda f>0\) und umgekehrt; (4) Bei der Definition: \(f>g\), wenn \(f-g > 0\), ist \(\varSigma\) ein Verband; (5) In \(\varSigma\) ist eine ``Norm'' \(\eta(f)\) definiert, in bezug auf welche \(\varSigma\) ein Banachscher Raum ist; (6) Die Norm ist in positiven Elementen additiv. \textit{Kantorovitch} (Rec. math., Moscou, (2) 2 (1937), 121-168; F.~d.~M. 63\(_{\text{I}}\), 353) hat Definitionen von sup, inf, lim sup usw. in solchen Räumen gegeben. Ist \(f>0\) und \(\eta(f)=1\), so ist \(f\) eine ``Verteilung''. Ein ``Übergangsoperator'' auf \(\varSigma\) ist ein additiver Operator, der Verteilungen in Verteilungen überführt. Ist \(T\) ein fester Übergangsoperator und \(fT=f\), so ist \(f\) ein ``Fixpunkt''. Eine Verteilung ist ``stabil'', wenn sie ein Fixpunkt ist. Die ``Markoffsche Hypothese'' besagt, daß für irgendein \(n\) \[ d=\underset{p \in \varDelta} {\inf} pT>0, \] wo \(\varDelta\) die abgeschlossene, konvexe Menge der Verteilungsfunktionen ist. Der grundlegende Satz von Markoff aus der Theorie der ``verketteten Wahrscheinlichkeiten'' erhält folgende Gestalt: Genügt \(T\) der Markoffschen Hypothese, so gibt es eine eindeutig bestimmte stabile Verteilung \(p_0\) (metrisch transitiver Fall). Überdies gehen die \(pT^k\) gleichmäßig mit derselben Geschwindigkeit gegen \(p_0\), mit der die Glieder einer konvergenten geometrischen Folge gegen Null gehen. Die ``Ergodenhypothese'' besagt, daß, wenn \(p\) eine feste Verteilung ist, die \(pT^k\) eine obere Schranke haben. Die Ergodenhypothese enthält die Aussage der Existenz wenigstens einer stabilen Verteilung. Es gilt folgendes ``mean ergodic theorem'': Die Ergodenhypothese hat zur Folge, daß die Mittel \(\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1} pT^k\) schwach konvergieren, in dem Sinne, daß, wenn \(\lambda(f)\) irgend ein lineares Funktional ist, die numerischen Mittel \[ \varPhi_n(p)=\lambda \left( \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} pT^k \right) \] im gewöhnlichen Sinne konvergieren. Die ausführlichen Beweise sollen in einer späteren Arbeit gegeben werden. (IV 8 A.)