Résolution d'un système d'équations de M. Schrödinger. Errata. (Q2597006)

\(x\) und \(y\) seien zwei reelle Veränderliche in den endlichen oder unendlichen Intervallen \(J_1\) bzw. \(J_2\). Ferner seien \(g(x, \,y)\), \(\omega_1(x)\), \(\omega_2(y)\) für \(x \subset J_1\), \(y \subset J_2\) definierte nichtnegative Funktionen, für die gilt: \[ \int\limits_{J_1} \omega_1(x) \, dx = \int\limits_{J_2} \omega_2(y) \, dy>0. \] Dann folgt: Das Gleichungssystem \[ \left\{ \begin{aligned} \varphi(x) \int\limits_{J_2} g(x, \,y) \, \psi(y) \,dy & = \omega_1(x), \\ \psi(y) \int\limits_{J_1} g(x, \,y) \, \varphi(x) \,dx & = \omega_2(y) \end{aligned} \right. \] hat höchstens eine nichtnegative Lösung, falls \(g(x, \,y)\), \(\omega_1(x)\), \(\omega_2(y)\) stetig sind und falls für jeden festen Wert von \(x\) oder von \(y\) die Funktion \(g(x, \,y)\) höchstens auf einer Menge vom Maße Null verschwindet. Der wichtige Fall \[ J_1=J_2=(-\infty, \, +\infty), \quad g(x, \,y)=\frac{1}{\sigma \sqrt{\pi}} \, \exp \, \left( -\frac{(x-y)^2}{\sigma^2} \right) \] war bereits früher von \textit{S. Bernstein} behandelt worden. Es folgen zwei Existenzsätze (IV 9.)