Zur Konvergenz des Newtonschen Näherungsverfahrens. (Q2597183)

Das Newtonsche Verfahren zur Auflösung von \(f(x)=0\) (Wurzel \(\xi\)) ist ein Iterationsverfahren mit quadratischer Konvergenz; d. h. für die Fehler \(\delta_n\) der Näherungswerte \(x_n\) gilt \(\delta_{n+1}\leqq K\delta_n^2\). Dabei ist \[ K\approx\frac12\left|\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}\right|. \] Nach einer früheren, hier etwas anders formulierten Bemerkung des Verf. (Z. angew. Math. Mech. 16 (1936), 315-316; F. d. M. \(62_{\text I}\), 637) erreicht man durch Einführung einer neuen unabhängigen Veränderlichen \(z=u(x)\) ein unter Umständen besseres \(K^* \approx\dfrac12\left|\dfrac{f''}{f'}-\dfrac{u''}{u'}\right|\). Das Verfahren wird auf \textit{mehrere} Gleichungen für mehrere Unbekannte und für \textit{eine} Gleichung auf die erweiterte Newtonsche Iterationsformel (mit höherer Konvergenzordnung) übertragen.