Note on approximations to functions and to solutions of differential equations. (Q2597207)

Drei verschiedene Näherungsmethoden werden betrachtet. Die erste als ``collocation'' bezeichnete fordert, daß der Fehler an einzelnen vorgeschriebenen Stellen zu Null wird. Daneben werden die Methode der kleinsten Quadrate und die sogenannte Galerkinsche Methode gestellt, die bei genäherter Darstellung einer Kurve zusammenfallen. Handelt es sich um die Näherungslösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, so macht man den Ansatz \[ Y(x)=X_0(x)+\sum_{j=1}^s c_jX_j(x), \] wo \(X_0(x)\) die vorgeschriebenen inhomogenen Randbedingungen erfüllt, während die \(X_j(x)\) die entsprechenden homogenen erfüllen. Setzt man \(Y(x)\) in die gegebene Differentialgleichung ein, erhält man eine Funktion \(\varepsilon(x)\). Bei der ersten Methode werden die \(s\) Konstanten des Ansatzes so bestimmt, daß in \(s\) vorgeschriebenen Punkten des Bereiches \(\langle a_1,a_2\rangle\varepsilon(x) = 0\) gesetzt wird, bei der zweiten wird \(\int\limits_{a_1}^{a_2}\varepsilon^2(x)dx\) zum Minimum gemacht, und bei der dritten werden die \(c_j\) aus den \(s\) Gleichungen \[ \int\limits_{a_1}^{a_2}\varepsilon(x)X_j(x)dx=0 \] berechnet. Alle drei Methoden konvergieren unter den gleichen Bedingungen, doch zeigen Beispiele, daß die Konvergenz in den beiden letzten Fällen besser ist. Für die schwingende Saite und die schwingende Ringmembran wird gezeigt, wie die nach diesen Methoden berechneten Eigenwerte annähern. (VI 4 A.)