Ein abbildungsgeometrisches Verfahren zur Darstellung von Richtungsfeldern und zur Erzeugung von Tangentenverwandtschaften. (Q2597214)

Wählt man vier sonst willkürliche Funktionen \(\xi_1\), \(\xi_2\), \(\eta_1\), \(\eta_2\) von \(x\) und \(y\) derart, daß ihr Differenzenquotient \(\dfrac{\eta_2-\eta_1}{\xi_2-\xi_1}\) einen vorgeschriebenen Wert \(f(x,y)\) hat, so kann man sich die Richtung des Richtungsfeldes \(y'=f(x, y)\) für jeden Punkt \(P(x, y)\) durch Verbindung der Bildpunkte \(\varPi_1(\xi_1,\eta_1)\) und \(\varPi_2(\xi_1,\eta_2)\) herstellen. Bei passender Wahl der Abbildungen \(P\to\varPi_1\) und \(P\to\varPi_2\) lassen sich hiermit viele praktisch interessante Richtungsfelder bequem gewinnen. Lineare Transformationen \(\bar \xi_i= M\xi_i+\varphi\), \(\bar\eta_i=M\eta_i+\psi\) mit willkürlichen Funktionen \(\varphi(x, y)\), \(\psi(x, y)\), \(M(x, y)\) führen zu anderer Darstellung desselben Richtungsfeldes. Man erstrebt vorzugsweise Abbildungen mit identisch verschwindender Funktionaldeterminante \(\dfrac{\partial(\xi_1,\eta_i)}{\partial(x,y)}\), wobei \(\varPi_i\) auf einer Funktionsleiter läuft (Leitkurve) oder fest liegt (Pol), z. B. Gewinnung des Richtungsfeldes mit Integrationspol bei \(y'=f(x)\) und mit der Czuberschen Leitkurve bei \(y'+P(x) y + Q(x) = 0\). Zwei Kurven(scharen) mit parallelen Tangenten in zugeordneten Punkten heißen tangentenverwandt. Beispiel: Integralkurve \(k\) von \(y'=f(x,y)\) und Hüllkurve \(\varkappa\) der zu den Punkten von \(k\) gehörigen Geraden \(\varPi_1\varPi_2\) bei Zuordnung \(P\to\) Berührungspunkt \(\varPi\) von \(\varPi_1\varPi_2\). Eine Verallgemeinerung der Jacobischen Differentialalgleichung, \(y'=\dfrac{V(x,y)}{U(x,y)}\) (\(U\), \(V\) quadratische Formen in \(x\), \(y\)), wird mit Abbildungsfunktionen nicht verschwindender Funktionaldeterminante (d. h. mit Leit\textit{feldern}) ausführlich untersucht.