Zur Theorie der reellen Inzidenzabbildungen. II: Die Gruppe der Inzidenzabbildungen von \(S(n^2 - n + 1|2|n)\). \(G_{168}\) von \(S(7|2|3)\) und ihre zyklischen Untergruppen. Die Inzidenzabbildungen der Vierecksgeometrie \(S(13|2|4)\). (Q2597246)

Verf. definiert für die ebenen projektiven Geometrien in Veblensystemen \(S(n^2 - n+ 1|2|n)\) ``reelle Inzidenzabbildungen'', das sind Kollineationen, die gewisse Möbiussche Netze in sich überführen. In jeder derartigen Geometrie bilden die reellen Inzidenzabbildungen eine Gruppe, deren Ordnung \[ (n^2 - n + 1) (n^2 - n) (n^2 - 2n + 1) (n^2 - 4n + 4) \] ist. Die Abbildungen lassen sich nach der Art ihrer Fixelemente in Typen einteilen. Verf. benutzt dazu die fünf bekannten von der Identität verschiedenen Kollineationstypen, die es in der projektiven Geometrie über dem komplexen Zahlkörper gibt. Da diese Einteilung jedoch im allgemeinen keine vollständige Disjunktion ist, werden der Typ 6 der auch in der gewöhnlichen reellen projektiven Geometrie auftretenden Kollineationen, die einen Punkt und eine nicht mit ihm inzidierende Gerade fest lassen, und der Typ 7 der fixpunktfreien Kollineationen hinzugenommen. Verf. beschäftigt sich nun im wesentlichen nur mit der Gruppe der 168 reellen Inzidenzabbildungen des Systems \(S(7|2|3)\) und mit der Gruppe der 5616 reellen Inzidenzabbildungen des Systems \(S(13|2|4)\). Er zählt in diesen beiden Fällen die fixpunktfreien Abbildungen vollständig und die der Typen 1-6 für je eine feste Wahl der Fixelemente auf, indem er angibt, in welche Punkte die vier Punkte eines Bezugsystems wandern können. Es werden dann die Ordnungen der Elemente und die zyklischen Untergruppen der beiden Gruppen bestimmt. In \(S(7|2|3)\) und \(S(13|2|4)\) sind nicht alle Typen 1-5, wohl aber die Typen 6 und 7 vertreten; der Typ 7 existiert, wie Verf. zeigt, in allen \(S(n^2 - n+ 1|2|n)\). In späteren Arbeiten sollen axiomatische Konsequenzen angegeben werden; es wird von Interesse sein, dort zu erfahren, wie sich allgemein der Begriff der reellen Inzidenzabbildung zum Begriff der Kollineation verhält.