Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe. (Q2597259)

Was unter Polyedern zu verstehen ist, wird im ersten Kapitel auseinandergesetzt: Es sind diejenigen abgeschlossenen Mengen eines \(R^n\), die durch wiederholte Summen- und Durchschnittbildung aus endlich vielen abgeschlossenen Halbräumen des \(R^n\) entstehen. Der \(R^n\) wird dabei als \(n\)-dimensionaler linearer Raum über einem geordneten Schiefkörper aufgefaßt. Es werden also nur Inzidenz- und Anordnungsaxiome, aber keine Stetigkeitseigenschaften, benutzt, so daß der elementare Charakter der geometrischen Grundlage, auf der die Theorie aufgebaut ist, deutlich hervortritt. Man kann ohne Stetigkeitsaxiom die Existenz des Randes zwar nicht für beliebige konvexe Mengen, aber für konvexe Raumstücke -- das sind Durchschnitte endlich vieler offener Halbräume und linearer Unterräume des \(R^n\) -- beweisen und den Rand eindeutig in ``Seiten'', die konvexe Raumstücke geringerer Dimension sind, zerlegen. Das führt zu den ``randtreuen'' Zerlegungen der Polyeder in konvexe Raumstücke, die durch folgende Bedingung gekennzeichnet sind: Wenn von zwei konvexen Raumstücken \(C_i\), \(C_j\) der Zerlegung das eine, \(C_i\), einen Randpunkt des anderen, \(C_j\), enthält, ist \(C_i\) ganz im Rande von \(C_j\) enthalten. Invarianten eines Polyeders im Sinne der kombinatorischen Topologie sind diejenigen Eigenschaften, die allen randtreuen Zerlegungen des Polyeders gemeinsam sind. Zum Nachweis der Invarianz einer Eigenschaft genügt es, ihre Invarianz gegen Zweiteilung und gegen die dazu inverse ``Reduktion'' zu beweisen. Randtreue Zerlegungen von Polyedern sind spezielle Komplexe, ``Zerlegungskomplexe'' genannt. Kap. 2 bringt daher die kombinatorische Topologie der Komplexe, soweit sie sich durch Berandungsmatrix und Berandungspolynom sowie Homologietheorie mod 2 beschreiben läßt. Ein Vorzug der Darstellung liegt darin, daß die kombinatorische Theorie nicht für sich allein entwickelt, sondern immer sofort auf die randtreuen Zerlegungen der Polyeder angewendet wird, so daß der geometrische Inhalt des Kalküls niemals übersehen werden kann. Für Zerlegungskomplexe ergeben sich dabei neben den drei Axiomen für Komplexe fünf weitere Forderungen Z 1 - Z 5 (zwei davon in Kap. 2), die zusammenfassen, was man über die ungelöste Frage nach der kombinatorischen Kennzeichnung der Zerlegungskomplexe weiß. Die Forderungen Z 1 und Z 2 besagen im wesentlichen, daß der Rand einer Zelle eine geschlossene Pseudomannigfaltigkeit bzw. ein mod 2 einfacher Komplex (d. h. ein Komplex mit den Zusammenhangszahlen eines Simplex oder Simplexrandes) sein muß. Weitere Ergebnisse dieses Kapitels sind: Definition des Randes und der Seiten von Polyedern, der Jordansche Satz für Polyeder; Struktur des Ringes der endlichen Polyeder mit Polyederaddition und Verbindungsprodukt als Verknüpfungen. Die Frage, wann zwei Komplexe verwandt, d. h. Zerlegungskomplexe von zwei Polyedern, die isomorphe randtreue Zerlegungen besitzen, sind, wird in Kap. 3 behandelt. Für Simplizialkomplexe läßt sich die Frage beantworten: Dem geometrischen Begriff der Verwandtschaft entspricht ein kombinatorischer Äquivalenzbegriff, der darauf beruht, daß äquivalente Komplexe durch eine Folge ``einfacher'' Transformationen, die etwa den Zweiteilungen und Reduktionen entsprechen, ineinander übergeführt werden können. Die Hauptschwierigkeit liegt in dem Beweis, daß verwandte Simplizialkomplexe äquivalent sind. Das letzte Kapitel knüpft an das zweite an: Homologietheorie unter Berücksichtigung der Orientierung, orientierter Durchschnitt, Schnittund Verschlingungszahlen. Für Zerlegungskomplexe ergeben sich die Bedingungen Z 3 und Z 4: Die Zellen sind orientierbar, die Zellenränder sind einfache Komplexe. Es folgt die Theorie der Mannigfaltigkeiten mit den Dualitätssätzen. Die Fundamentalgruppe, die ähnlich wie in der Arbeit des Verf. in Math. Z. 40 (1935), 406-416 (F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1347) behandelt wird, liefert die letzte Bedingung Z 5 für Zerlegungskomplexe: Eindimensionale Wegegruppe und Fundamentalgruppe eines Zellenrandes bestehen nur aus dem Einselement. Den Schluß bildet eine Einführung in die Theorie der Homotopieketten, die Verf. in mehreren Arbeiten entwickelt und u. a. auf die Klassifikation der Linsenräume erfolgreich angewendet hat. Besprechungen: N. E. Steenrod; Bull. Amer. math. Soc. 45 (1939), 224. Nature 143 (1939), 700-701.