Über Euler-Linien unendlicher Graphen. (Q2597263)

Unter einer Eulerschen Linie eines Graphen versteht man einen Kantenzug, der jede Kante genau einmal durchläuft. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer geschlossenen Eulerlinie in einem endlichen Graphen \(G\) besteht bekanntlich darin, daß \(G\) zusammenhängend und von geradem Grade ist. In der vorliegenden Arbeit werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür aufgestellt, daß ein \textit{unendlicher} Graph \(G\) eine beiderseits unendliche Eulersche Linie \[ \ldots P_{-2}P_{-1},P_{-1}P_0, P_0P_1, P_1P_2,\ldots \tag{*} \] besitzt. Notwendig sind zunächst die drei ``trivialen'' Bedingungen \(T_1\): \(G\) ist zusammenhängend; \(T_2\): \(G\) besitzt abzählbar viele Kanten; \(T_3\): \(G\) enthält keinen Knotenpunkt ungeraden Grades. \noindent Sie sind offenbar nicht hinreichend. In Verbindung mit den Bedingungen \(T\) werden die folgenden Bedingungen betrachtet, in denen \(g\) einen endlichen Teilgraphen, \(z\) einen endlichen Kantenzug von \(G\) bezeichnet: \(E\): \ Für jeden \(g\) besitzt \(G - g\) nur eine unendliche Komponente. \(E_1\): Für jeden \(g\) besitzt \(G-g\) höchstens zwei unendliche Komponenten. \(E_2\): Für jeden \(g\) geraden Grades besitzt \(G-g\) nur eine unendliche Komponente. \noindent \(E'\), \(E_1'\), \(E_2'\) lauten entsprechend: Es gibt einen Knotenpunkt \(Q\) von der Eigenschaft, daß für jeden durch \(Q\) gehenden (im Falle \(E_2'\) geschlossenen) \(z\) die Aussage von \(E\), \(E_1\), \(E_2\) für \(G-z\) gilt. Zusammen mit \(T\) ist \(E'\), also auch \(E\), hinreichend, aber nicht notwendig, \(E_1\), also auch \(E_1'\) notwendig, aber nicht hinreichend für die Existenz einer beiderseits unendlichen Eulerlinie. \(T\), \(E_1\), \(E_2\) oder auch \(T\), \(E_1'\), \(E_2'\) zusammen sind notwendig und hinreichend. Im Verlauf des Beweises werden auch hinreichende und (wie ohne Beweis angegeben wird) notwendige Bedingungen für die Existenz einer einseitig unendlichen Eulerschen Linie \(P_0P_1\), \(P_1P_2,\ldots\) angegeben. Anschließend werden einige verwandte Fragestellungen behandelt, nämlich (1) Bedingungen für die Existenz von endlich vielen einseitig unendlichen oder beiderseits unendlichen Kantenzügen, die zusammen jede Kante von \(G\) genau einmal enthalten; (2) Bedingungen für die Existenz einer beiderseits unendlichen Kantenfolge (*), die jede Kante von \(G\) genau zweimal enthält: (3) Existenz einer beiderseits unendlichen Eulerschen Linie für den Gittergraphen des \(n\)-dimensionalen Raumes (gebildet von den Geraden \(x_1= g_1, \ldots, x_{k-1} = g_{k-1}\), \(x_{k+1} = g_{k+1},\ldots, x_n = g_n,\) \(g_\nu\) ganze Zahlen, \(k =1,2,\ldots, n\)). Vgl. hierzu auch die Arbeit von \textit{P. Erdös, T. Grünwald, E. Weiszfeld}, Mat. fiz. Lapok 43 (1936), 129-121; F. d. M. \(62_{\text I}\), 655.