Perfect subdivision of surfaces. (Q2597267)

Die Arbeit ist aus dem Versuch entstanden, einen unzureichenden Beweis einer früheren Arbeit des Verf. (J. Math. Phys., Massachusetts, 15 (1936), 179-186; F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1405) zu vervollständigen. Es handelt sich um die Frage, ob ein Graph \(G\) (mit den a. a. O. angegebenen Eigenschaften), der in die orientierbare (bzw. nicht orientierbare) Fläche \(S_K\) der Charakteristik \(K\) so eingebettet werden kann, daß er \(S_K\) trianguliert, zugleich auch in die nicht orientierbare (bzw. orientierbare) Fläche \(S_K'\) der Charakteristik \(K\) singularitätenfrei eingebettet werden kann. Verf. kommt zu folgendem Teilergebnis: Wenn in \(G\) jede Ecke einen einzigen 1-Stern besitzt, läßt sich \(G\) nicht in \(S_K'\) einbetten. Dabei ist ein 1-Stern einer Ecke \(e\) von \(G\) -- unter der Voraussetzung, daß \(G\) eine Fläche trianguliert (Verf. gibt eine allgemeinere Definition) -- folgendermaßen definiert: Er besteht aus allen von \(e\) ausgehenden Kanten \(ee_\mu\) (\(\mu= 1,2,\ldots,m\)) und einem einfach geschlossenen Kantenzug von \(m\) Kanten, dessen Ecken die \(e_\mu\) sind. Auf Grund von Abschätzungen der Maximalzahl verschiedener 1-Sterne einer Ecke ergibt sich noch eine andere Formulierung dieses Satzes. Verf. beschäftigt sich dann mit speziellen Zerlegungen von Flächen durch einen zusammenhängenden endlichen Graphen \(H\), in dem jede Ecke mindestens die Ordnung 3 hat, in Zellen. Er nennt eine solche Zerlegung quasiperfekt, wenn jede Zelle \(n\) Seiten hat, doppelt auftretende zweimal gezählt, und perfekt, wenn der Rand jeder Zelle eine einfach geschlossene Kurve, der Durchschnitt zweier Zellenränder zusammenhängend oder leer ist. Aus der Charakteristikenformel und einfachen Abzählungen ergeben sich Bedingungen für die Möglichkeit quasiperfekter Zerlegung einer \(S_K\) durch einen gegebenen Graphen \(H\). Es folgen spezielle Sätze und zum Teil eine vollständige Aufstellung der möglichen perfekten Zerlegungen der \(S_K\) für \(K = 2\) bis \(K=-2\); u. a. werden die regulären Polyeder wiedergefunden. Zum Schluß unendliche perfekte Zerlegungen der Ebene und der universellen Uberlagerungsflächen der geschlossenen orientierbaren Flächen höheren Geschlechts im Zusammenhang mit Fundamentalbereichen der Decktransformationsgruppe.