Topologische Gruppensysteme. (Q2597278)

Ein topologisches Gruppensystem \(\varSigma\) besteht aus einer Folge (additiv geschriebener) Abelscher Gruppen \(L_i(\varSigma)\) \((i = 0, 1, 2, \dots)\), in der für jedes \(i\) ein Homomorphismus \(L_{i+1}(\varSigma) \to L_i(\varSigma)\) -elementweise geschrieben: \(R(C^{i+1}) = C^i\) -- gegeben ist, derart, daß \(R\{R(C^{i+2})\} = 0^i\) für jedes \(C^{i+2}\) (\(0^i\) ist die Null von \(L_i(\varSigma)\)). Die \(L_i(\varSigma)\) heißen \(i\)-dimensionale Komplexgruppen, ihre Elemente \(i\)-dimensionale Komplexe. Falls in der Folge \(-1, 0, 1, 2, \dots\) eine Zahl \(n\) von der Eigenschaft existiert, daß \(L_i(\varSigma) = 0^i\) für \(i > n\), heißt die kleinste solche Zahl \(n\) die Dimension von \(\varSigma\). \ \(R\) ist die Randbildung. Über die Struktur der \(L_i (\varSigma)\) wird zunächst nichts vorausgesetzt. Ein topologisches Untersystem \(\varSigma^\prime\) von \(\varSigma\) besteht aus Untergruppen \(L_i(\varSigma^\prime)\) der \(L_i(\varSigma)\), für die \(R\{L_{i+1}(\varSigma^\prime)\}\subset L_i(\varSigma^\prime)\). Durch \(R\) werden auch in der Folge der Restklassengruppen \(L_i(\varSigma) - L_i(\varSigma^\prime)\) Automorphismen induziert, die daraus ein topologisches System, das Differenzsystem \(\varSigma - \varSigma^\prime\), machen. Ferner lassen sich Summe \(\varSigma^\prime + \varSigma^{\prime\prime}\) und Durchschnitt \(\varSigma^\prime \frown \varSigma^{\prime\prime}\) zweier topologischer Untersysteme \(\varSigma^\prime\), \(\varSigma^{\prime\prime}\) von \(\varSigma\) erklären. Die Divisionshülle \(\overline \varSigma^\prime\) von \(\varSigma^\prime\) besteht aus den Gruppen \(L_i(\overline \varSigma^\prime)\) derjenigen Elemente von \(L_i(\varSigma^\prime)\), von denen ein ganzzahliges Vielfaches in \(L_i(\varSigma^\prime)\) liegt. Das Differenzsystem \(\varSigma - \overline\varSigma^\prime\) ist frei, d. h. die Gruppen \(L_i(\varSigma) - L_i(\overline \varSigma^\prime)\) enthalten außer der Null kein Element endlicher Ordnung. Spezielle topologische Untersysteme von \(\varSigma\) sind das System \(\varSigma_e\), dessen Komplexgruppen aus den Elementen endlicher Ordnung von \(L_i(\varSigma)\) bestehen, und das System \(m \varSigma\) (\(m\) positiv ganz), dessen Komplexgruppen von den Elementen \(mC^i\), \(C^i \in L_i(\varSigma)\), gebildet werden; \(\varSigma - m\varSigma = \varSigma m\) heißt das ``Differenzsystem modulo \(m\)''. Homomorphismen und Isomorphismen zwischen topologischen Gruppensystemen \(\varSigma\), \(\varSigma^*\) werden als randtreue Homomorphismen bzw. Isomorphismen zwischen den Gruppen \(L_i(\varSigma)\) und \(L_i(\varSigma^*)\) definiert. Die Kerne und die Bildgruppen eines Homomorphismus bilden topologische Untersysteme von \(\varSigma\) bzw. \(\varSigma^*\). Den bekannten Homomorphiesätzen der Gruppentheorie entsprechen solche für topologische Systeme. Läßt sich jede Komplexgruppe von \(\varSigma\) als direkte Summe \[ L_i(\varSigma) = L_i(\varSigma^\prime) + L_i^{\prime\prime} \] darstellen, wobei die \(L_i(\varSigma)\) einem topologischen Untersystem \(\varSigma^\prime\) von \(\varSigma\) angehören, die \(L_i^{\prime\prime}\) aber im allgemeinen kein topologisches Untersystem von \(\varSigma\) bilden, so kann man für die \(L_i^{\prime\prime}\) Homomorphismen \(L_{i+1}^{\prime\prime} \to L_i^{\prime\prime}\) so definieren, daß ein topologisches System \(\varSigma^{\prime\prime}\) (im allgemeinen kein Untersystem von \(\varSigma\)) entsteht und \(\varSigma^{\prime\prime} \approx \varSigma - \varSigma^\prime\) (\(\approx\) bedeutet isomorph). \ \(\varSigma^{\prime\prime}\) heißt das offene Komplement von \(\varSigma^\prime\) in \(\varSigma\). In topologischen Gruppensystemen kann man auf Grund der gegebenen Homomorphismen, die die Randbildung definieren, die wichtigsten Begriffe der algebraischen Topologie nachbilden: \(i\)-dimensionale Zyklen- und Rändergruppen \(Z_i\) bzw. \(H_i\) und deren Divisionshüllen \(\overline Z_i\), \(\overline H_i\), Bettische Gruppen \(B_i = Z_i - H_i\) und Bettische Zahlen als Ränge \(r(B_i)\) (= Maximalzahl unabhängiger Elemente bzw. unendlich.), Torsionsgruppen \(T_i\), gebildet von den Elementen endlicher Ordnung der \(B_i\). Im allgemeinen \(\overline H_i \not\subset Z_i\); aber in freien Systemen gilt: \(L_i \supset \overline Z_i = Z_i \supset \overline H_i \supset H_i\). Man erhält die bekannten Rangbeziehungen zwischen diesen Gruppen, kann für Systeme endlicher Dimension eine Eulersche Charakteristik als alternierende Summe der \(r(L_i)\) einführen und die Euler-Poincarésche Formel beweisen. Sehr ausführlich werden die Beziehungen zwischen \(\varSigma\), einem Untersystem \(\varSigma_1\) und dem Differenzsystem \(\varSigma - \varSigma_1\) behandelt, insbesondere wird eine Relation zwischen den Bettischen Zahlen abgeleitet. Die Behandlung der Zyklen und Bettischen Gruppen ``erster'' und ``zweiter Art'' (vgl. \textit{Alexandrofl-Hopf}, Topologie I (1935; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 602), Kap. V, \S\,3) wird hier für das System \(\varSigma - \varSigma_1\) in allgemeinerer Form wiederholt. Außerdem ordnen sich hier auch die Relativzyklen von \textit{Lefschetz} ein. In der direkten Summe \((\varSigma, \varSigma^\prime)\) zweier Systeme \(\varSigma\), \(\varSigma^\prime\), die isomorphe Untersysteme \(\varSigma_1\), \(\varSigma_1^\prime\) enthalten, wird das Verfahren der Identifikation zweier Komplexe längs eines Teilkomplexes nachgebildet. Das kommt auf die Untersuchung des Differenzsystems \((\varSigma, \varSigma^\prime) - \varSigma_2\) heraus, wobei \(\varSigma_2\) das Untersystem von \((\varSigma, \varSigma^\prime)\) ist, dessen Gruppen \(L_i(\varSigma_2)\) aus den Elementen \((C_1^i, -C_1^{\prime i})\) von \(L_i(\varSigma, \varSigma^\prime)\) bestehen, für die \(C_1^i \in L_i(\varSigma_1)\), \(C_1^{\prime i} \in L_i(\varSigma_1^\prime)\) und \(C_1^i \leftrightarrow C_1^{\prime i}\) bei der zwischen \(\varSigma_1\) und \(\varSigma_1^\prime\) bestehenden Isomorphie. Es ergibt sich die bekannte Mayer-Vietorissche Summenformel (vgl. \textit{Alexandroff-Hopf}, a. a. O., Kap. VII, \S\,2, Nr. 11), eine neue Summenformel, die die Bettischen Zahlen von \((\varSigma, \varSigma^\prime) - \varSigma_2\), \(\varSigma\), \(\varSigma - \varSigma_1\), \(\varSigma^\prime\) und \(\varSigma^\prime - \varSigma_1\) enthält, und der Additionssatz (\textit{Alexandroff-Hopf}, a. a. O., Kap. VII, \S\,2, Nr. 8). Engerer Anschluß an die in der algebraischen Topologie gebrauchten Gruppensysteme wird durch die Voraussetzung erreicht, daß \(\varSigma\) ein System ``mit Erzeugenden'' sein soll, d. h. jede Gruppe \(L_i(\varSigma)\) besitze ein höchstens abzählbares System von Erzeugenden \(a_\alpha^i\), so daß sich jedes Element in der Form \(K^i = \varSigma k_\alpha a_\alpha^i\) mit nur endlich vielen von null verschiedenen \(k_\alpha\) darstellen läßt und aus \(0^i = \varSigma k_\alpha a_\alpha^i\) folgt: \(k_\alpha a_\alpha^i = 0^i\) \((\alpha = 1, 2, \dots)\). \ Hier lassen sich Inzidenzmatrizen \((\varepsilon_{\alpha \beta}^i)\) einführen: \[ R(a_\alpha^i) = \sum_\beta \varepsilon_{\alpha \beta}^i a_\beta^{i-1}; \tag{*} \] dabei ist \(\varepsilon_{\alpha \beta}^i\) nur definiert, wenn \(L_i\) und \(L_{i-1}\) keine Nullgruppen sind, und nur modulo der Ordnung des Gruppenelements \(a_\beta^{i-1}\) bestimmt, falls diese Ordnung endlich ist. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür aufgestellt, daß eine Folge von Matrizen \((\varepsilon_{\alpha \beta}^{i_\varkappa})\), \ \(i_1 < i_2 < \cdots\), für eine gegebene Folge von Abelschen Gruppen \(L_i\) mit Erzeugenden \(a_\alpha^i\) als Inzidenzmatrizen brauchbar ist, d. h. daß (*) Homomorphismen vom Charakter der Randbildung bestimmt. Ferner notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß eine Folge von Matrizen \((\varepsilon_{\alpha \beta}^{i_\varkappa})\) als Inzidenzmatrizen eines freien Systems oder eines \(p\)-Systems (alle von \(0^i\) verschiedenen Elemente der \(L_i\) haben die Primzahlordnung \(p\)) aufgefaßt werden kann. In beiden Sätzen tritt u. a. die ``erste Endlichkeitsbedingung'' auf: Bei festem \(i\) und \(\alpha\) sind nur endlich viele \(\varepsilon_{\alpha \beta}^i \neq 0\) bzw. \(\not\equiv 0\) mod \(p\). Ist \(\varSigma\) ein freies System oder \(p\)-System endlicher Dimension \(\leqq n\) mit Erzeugenden \(a_\alpha^i\) und den Inzidenzmatrizen \((\varepsilon_{\alpha \beta}^{i_\varkappa})\), so sind die Matrizen \[ \left(\varepsilon_{\alpha \beta}^{*i_\varkappa}\right) = \left(\varepsilon_{\beta\alpha}^{n-i_\varkappa + 1}\right) \] Inzidenzmatrizen eines zweiten freien oder \(p\)-Systems \(\varSigma^*\) endlicher Dimension mit Erzeugenden, falls die ``zweite Endlichkeitsbedingung'' erfüllt ist: Bei festem \(i\) und \(\beta\) sind nur endlich viele \(\varepsilon_{\alpha\beta}^i \neq 0\) bzw. \(\not\equiv 0\) mod \(p\). \ \(\varSigma^*\) heißt das zu \(\varSigma\) \ \(n\)-duale System. Die Definition des \(n\)-dualen Systems bezieht sich zunächst auf eine spezielle Basis, ist aber von der Wahl der Basis unabhängig. Für die Bettischen Zahlen und -- im Falle der freien Systeme -- die Torsionsgruppen \(n\)-dualer Systeme ergeben sich die Poincaréschen Relationen. Schließlich läßt sich auch ein Alexanderscher Dualitätssatz beweisen: Es sei \(M\) ein Untersystem von \(\varSigma\), dessen Basis ein Teil der Basis von \(\varSigma\) ist; dann kann man \(M\) in \(\varSigma^*\) ein Teilsystem \(V^*\) als ``konjugiertes'' zuordnen, dessen Basis ein Teil der Basis von \(\varSigma^*\) ist, mit folgenden Eigenschaften: Sind \(N\) bzw. \(U^*\) die offenen Komplemente von \(M\) bzw. \(V^*\) in \(\varSigma\) bzw. \(\varSigma^*\), so ist \(N\) \ \(n\)-dual zu \(V^*\), \(U^*\) \ \(n\)-dual zu \(M\); das konjugierte System von \(V^*\) ist wieder \(M\). Bezeichnet nun \(D_i(M, \varSigma)\) die Gruppe \[ [H_i(\varSigma) \frown Z_i(M)] - H_i(M), \] so gilt -- bei entsprechender Definition von \(D_i(V^*, \varSigma^*)\) -- für die Ränge: \[ r\{D_i(V^*, \varSigma^*)\} = r\{D_{n-i-1}(M, \varSigma)\}. \] Sind die \(B_i(\varSigma)\) -- und dann auch die \(B_i(\varSigma^*)\) -- für \(i = 1, 2, \dots, n - 1\) Nullgruppen, so ist dabei \(D_i(M, \varSigma) \approx B_i(M)\), \(D_i(V^*, \varSigma^*) \approx B_i(V^*)\). Für freie Systeme ergibt sich auch der Dualitätssatz für die Torsionsgruppen. \ (III 5 A.)