I: Sur les espaces compacts. II: Sur les caractères des points dans les espaces \(\mathfrak L\). (Q2597314)

I. Ein Raum \(R\) heißt \(\mathfrak a\)-kompakt, wenn für jedes System \(\mathfrak F\) der Mächtigkeit \(\mathfrak a\) von abgeschlossenen Teilmengen von \(R\), für welche der Durchschnitt je endlich vieler nicht leer ist, auch der Durchschnitt aller Mengen von \(\mathfrak F\) nicht leer ist. Ist \(R\) ein regulärer, \(\mathfrak a\)-kompakter Raum, dessen sämtliche Punktcharaktere \(\geqq\mathfrak a\) sind, so ist die Mächtigkeit von \(R\geqq2^{\mathfrak a}\). Dies ist eine Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Alexandroff} und \textit{Urysohn} (Verhdl. Akad. Wet. Amsterdam, Afd. Natuurk., I. Sect. 14 (1929), Nr. 1; JFM 55.0960.*); der Beweis beruht auf der (transfiniten) Konstruktion eines Systems offener Mengen mit gewissen Vergleichbarkeitseigenschaften, welches \(2^{\mathfrak a}\) monotone Teilsysteme mit paarweise fremden, nicht leeren Durchschnitten enthält. -- Es sei \(E\) ein kompakter, vollständig normaler Raum, welcher überdies vollständig ist in dem Sinne, daß er ein \(G_\delta\) eines bikompakten Oberraumes ist. Ist \(S\) Teilmenge von \(E\) derart, daß jede auf \(S\) beschränkte stetige reelle Funktion eine stetige Erweiterung auf ganz \(E\) zuläßt, so ist \(S\) in sich kompakt. - II. Einer Menge \(E\) ist eine allgemeine Topologie \((u)\) aufgeprägt, wenn jeder Menge \(M \subset E\) eindeutig eine Menge \(u(M) \subset E\) zugeordnet ist, wobei \(u(M)\) monoton und \(u(0) = 0\) ist. Eine Limestopologie \((u)\) liegt vor, wenn die abzählbaren Folgen von Elementen aus \(E\) irgendwie klassifiziert sind nach ``konvergenten'' und ``divergenten'', und wenn jeder ``konvergenten'' Folge ein Punkt von \(E\) als ``Limespunkt'' zugeordnet ist: \(u(M)\) ist dann die Menge aller Limespunkte konvergenter Folgen von Elementen aus \(M\). Die Limestopologie Fréchetscher \(\mathfrak L\)-Räume ist (in bekannter Weise) von besonderer Art. Verf. beweisen zunächst einige Sätze über die Charaktere von reellen Funktionenräumen mit gewissen Limestopologien über vollregulären bzw. normalen Räumen, und speziell über einem kompakten Zahlenintervall. Ferner wird die Mächtigkeit der möglichen, nicht miteinander vergleichbaren, normalen Fréchetschen Limestopologien \((u)\) in einer Menge \(E\) von der Mächtigkeit \(\mathfrak e\) bestimmt, wobei der Punktcharakter konstant gleich \(2^{\mathfrak e}\) und der Pseudopunktcharakter konstant \(\leqq e\) vorgeschrieben ist; ihr Wert ist \(2^{{\mathfrak e}^{\aleph_0}}\). (Zwei Topologien \(u\), \(v\) heißen nicht vergleichbar, wenn weder durchwegs \(u(M) \subset v(M)\) noch durchwegs \(v(M) \subset u(M)\) für alle \(M\) gilt.) Ähnliches wird für Fréchetsche Limestopologien durchgeführt, die das Hausdorffsche Trennungsaxiom erfüllen. Die diesbezüglich bewiesenen Sätze gelten jedoch für allgemeinere Klassen von Limestopologien.