Sur la notation d'écart dans les espaces abstraits. (Q2597318)

Verf. nennt einen abstrakten Raum \(E\) halbmetrisch, wenn jedem Punktepaar \(p\), \(q\) eine reelle Zahl \(pq= qp \geqq 0\) zugeordnet ist, wobei \(pq = 0\) mit \(p = q\) gleichwertig und noch folgendes erfüllt ist: Zu \(p\) und \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(\gamma = \gamma(p, \varepsilon) > 0\), und, falls \(pq < \gamma\), ein \(\delta = \delta(p, q, \varepsilon) > 0\), so daß \(pr < \varepsilon\) eine Folgerung von \(qr<\delta\) ist. Diese letzte Eigenschaft ist (nach \textit{Fréchet}, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. mat. Palermo 22 (1906), 1-74; F. d. M. 37, 348 (JFM 37.0348.*)) äquivalent mit der Eigenschaft, daß die Ableitung jeder Teilmenge des Raumes abgeschlossen ist. Jede abgeschlossene Teilmenge eines halbmetrischen Raumes ist Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen. Die ``offenen'' Kugeln \(\underset{s}{E}(sr < \varrho)\) sind dann und nur dann offen, wenn \(pq\) in jeder Veränderlichen oberhalb stetig ist. Dafür, daß die ``abgeschlossenen'' Kugeln \(\underset{s}{E}(sr\leqq\varrho)\) abgeschlossen sind, ist notwendig und hinreichend die Unterhalb-Stetigkeit von \(pq\) in jeder Veränderlichen. Wenn die ``abgeschlossenen'' Kugeln des halbmetrischen Raumes \(E\) abgeschlossen sind, so ist \(E\) regulär, und wenn dabei außerdem \(E\) vollständig separabel ist, so ist \(E\) einem metrischen Raume homöomorph. Für die Homöomorphie eines kompakten halbmetrischen Raumes \(E\) mit einem metrischen Raume ist andererseits die folgende Stetigkeitsbedingung hinreichend: Zu \(p\), \(q\) und \(\varepsilon>0\) gibt es ein \(\delta = \delta (p, q, \varepsilon) >0\), so daß \(pp' < \delta\), \(qq' < \delta\) stets \(|pq - p'q'| < \varepsilon\) nach sich zieht.