Metric spaces and completely monotone functions. (Q2597322)

Eine Punktmenge \(\mathfrak S\) heißt halbmetrisch, wenn ein Abstand \(PQ\) erklärt ist mit \(PQ = QP> 0\) für \(P \neq Q\) und \(PP= 0\). Ist \(F(t)\) für \(t\geqq0\) eine stetige Funktion mit \(F(t) > 0\) für \(t > 0\), \(F(0) = 0\) und geht man in \(\mathfrak S\) von \(PQ\) zur Abstandsfunktion \(F(PQ)\) über, so spricht man von einer Metriktransformation; es entsteht wieder ein halbmetrischer Raum \(F(\mathfrak S)\). Mit \(\varPi(\mathfrak S)\) wird die Gesamtheit aller Metriktransformationen \(F(t)\) des separablen halbmetrischen Raumes \(\mathfrak S\) bezeichnet, für welche \(F(\mathfrak S)\) isometrisch in den Hilbertschen Raum \(E_\infty\) einbettbar ist. Es gilt: \(F(t)\in\varPi(\mathfrak S)\) dann und nur dann, wenn für jeden Parameter \(\lambda > 0\) die Funktion \(\exp(- \lambda[F(t)]^2) \in \mathfrak P(\mathfrak S)\). Dabei ist \(\mathfrak P(\mathfrak S)\) die Gesamtheit aller bezüglich \(\mathfrak S\) positiv definiten Funktionen \(g(t)\), \(t\geqq0\) (d. h. für je \(n\) Punkte \(P_i\in \mathfrak S\) ist \(\sum\limits_{1\ldots n} g(P_iP_j) \varrho_i\varrho_j\) positiv semidefinit). Verf. bestimmt die Klasse \(\mathfrak P(\mathfrak S)\) für die euklidischen Räume endlicher Dimension und für \(E_\infty: g(t)\in\mathfrak P(E_m)\) dann und nur dann, wenn \(g(t) = \int\limits_0^\infty \varOmega_m(tu) d\alpha(u)\), worin \(\alpha(u)\) nichtfallend und beschränkt ist für \(u\geqq0\) und die ganze transzendente Funktion \(\varOmega_m(r)\) für endliche Dimension \(m\) durch Besselfunktionen ausgedrückt werden kann, während \(\varOmega_\infty(r) = e^{-r^2}\) ist. Die Funktionen aus \(\mathfrak P(E_m)\) sind \(\bigg[\dfrac{m-1}2\bigg]\)-mal differenzierbar. Zwischen der Klasse \(\mathfrak P(E_\infty)\) und der Gesamtheit \(\mathfrak M\) der vollständig monotonen reellen Funktionen \(f(t)\), \(t\geqq0\), besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung: \(f(t)\in\mathfrak M\) dann und nur dann, wenn \(f(t^2) \in\mathfrak P(E_\infty)\). Für die Funktionen \(F(t)\) der Klasse \(\varPi(E_\infty)\) gibt Verf. die Integraldarstellung \[ F(t)=\left\{\int\limits_0^\infty\dfrac{1-e^{-t^2u}}{u}d\gamma(u)\right\}^\frac12, \] wo \(\gamma(u)\) nicht-fallend für \(u\geqq0\) und \(\int\limits_1^\infty\dfrac{d\gamma(u)}{u}\) existiert. Die Klasse \(\varPi(E_\infty)\) läßt sich noch auf andere Weise kennzeichnen: Es bedeute \(T\) die Klasse aller Funktionen \(\varPhi(t)\), \(t\geqq 0\), welche Integrale von in \(0 < t\) vollständig monotonen Funktionen \(\psi(t)\) sind: \(\varPhi(0) = 0\), \(\varPhi(t) = \int\limits_{0+}^t \psi(\tau)d\tau\); zwischen den Funktionen \(\varPhi(t)\in T\) und \(F(t)\in\varPi(E_\infty)\) besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung vermöge der Gleichung \(\varPhi(t^2) = (F(t))^2\). Verf. beschäftigt sich ferner mit der Struktur der Klassen \(\mathfrak P(E_\infty)\), \(\mathfrak M\), \(T\), insbesondere mit ``inneren Transformationen'' dieser Klassen: Die Klasse der nicht-negativen stetigen Funktionen \(F(t)\) \((F(0) = 0)\) mit der Eigenschaft, daß mit \(g(t) \in\mathfrak P(E_\infty)\) auch \(g(F(t)) \in \mathfrak P(E_\infty)\), stimmt mit \(\varPi(E_\infty)\) überein. Die Klasse der nicht-negativen stetigen Funktionen \(\varPhi(t)\) \((\varPhi(0)= 0)\) von der Art, daß mit \(f(t)\in\mathfrak M\) auch \(f(\varPhi(t))\in\mathfrak M\), ist mit \(T\) identisch. Mit letztem Satz ist eine wesentliche Vervollständigung eines Ergebnisses von \textit{S. Bochner} (Duke Math. J. 3 (1937), 488-502; JFM 63.0390.*) erzielt. Die Klasse der inneren Transformationen von \(T\) enthält alle Elemente von \(T\). Verf. bestimmt schließlich die allgemeine Gestalt der Funktionen aus \(\mathfrak M\) mit gewissen Normierungs- bzw. Beschränkungsbedingungen, ferner die Teilklasse \(\varPi'(E_m)\) der ``rektifizierenden'' \(F(t)\) (d. h. für welche \(F'(0) < \infty\) ist) von \(\varPi(E_m)\), \(m\) endlich. (IV 8 A.)