Eine Verschärfung der Eigenschaft \(C\). (Q2597334)

\(X\) sei ein metrischer Raum, der Summe von abzählbar vielen total beschränkten Teilen ist, und \(\{U_n(x)\}\), \(x\in X\), \(n = 1\), 2,\dots, ein System offener Mengen mit \(x\in U_n(x)\) für jedes \(x\in X\) und der Eigenschaft, daß es bei festem \(n\) nur endlich viele verschiedene Mengen \(U_n(x)\) im System gibt. \(X\) hat die Eigenschaft \((C')\), wenn sich jedem System \(\{U_n(x)\}\) obiger Art eine Folge \(x_1\), \(x_{2}\),\dots, \(x_{n}\)\dots \((\in X)\), zuordnen läßt, sodaß \[ X=\textstyle \kern-3pt\sum\limits_{n=1}^{\infty }U_n(x_n) \] ist. Aus \((C')\) folgt \((C)\) (vgl. \textit{W. Sierpiński}, Hypothèse du continu, Warszawa-Lwów (1934; JFM 60.0035.01), S. 37). \((C')\) ist eine Invariante gegenüber stetigen Abbildungen. Damit für ein \(X\) aus \((C)\) auch \((C')\) folgt, ist notwendig und hinreichend, daß auch jedes stetige Bild von \(X\) die Eigenschaft \((C)\) hat. Verf. setzt die Eigenschaft \((C')\) auch noch zu anderen, von \textit{Sierpiński} eingeführten Eigenschaften in Beziehung. (IV 3 A.)