Über eine neue idealtheoretische Grundlegung der algebraischen Geometrie. (Q2597488)

Bei Zugrundelegung eines festen Körpers \(K\) werden zunächst im Polynomring \(\mathfrak P_n = K[x_1,\dots, x_n]\) der \(n\) Veränderlichen \(x_i\) die homogenen Polynombereiche \(\mathfrak H_n = K[x_1,\dots, x_n]_H\) und in diesen homogene Ideale \(\mathfrak a\) definiert. Die Unbestimmten \(x_{i_1}\),\dots, \(x_{i_d}\) heißen unabhängig in bezug auf \(\mathfrak a\), wenn \(\mathfrak a\) keine Form enthält, die von diesen Unbestimmten allein abhängt. Das Maximum von \(d\) gibt die ``Dimension'' \(d - 1\) und den ``Rang'' \(n - d\) des homogenen Ideals \(\mathfrak a\). Mit Hilfe dieser Begriffe wird dann für Primideale \(\mathfrak p\) vom Range \(r\) eine im wesent\-lichen eindeutig festlegbare Basis, die sog. ``Primbasis'' \(\pi_1\),\dots, \(\pi_r\) definiert und gezeigt, daß zu jedem Primideal \[ \mathfrak p=(\varphi_1,\dots,\varphi_s) \] vom Range \(r\) ein System von \(d = n - r\) linearen, homogenen Differentialkongruenzen gehört: \[ \varPsi_jf=\psi_{j1}\dfrac{\partial f}{\partial x_1}+ \psi_{j2}\dfrac{\partial f}{\partial x_2}+\cdots+ \psi_{jn}\dfrac{\partial f}{\partial x_n}\equiv0\;(\text{mod}\,\mathfrak p). \quad (j = 1, 2,\dots, d). \tag{1} \] Die \(\psi_{ji}\) ergeben sich aus den \(d\) unabhängigen Lösungssystemen von \[ {\sum\limits_{k=1}^{n}}\psi_{jk} \dfrac{\partial \varphi_i}{\partial x_k}\equiv0\;(\text{mod}\,\mathfrak p). \] Nach einigen allgemeinen Betrachtungen über solche Differentialkongruenzen (1) wird das Studium der Idealtransformation \[ \mathfrak a=\mathfrak a_x\to\mathfrak a_y \] in Angriff genommen, wobei die \(m\leqq n\) neuen Veränderlichen \(y_i\) durch \(m\) Formen \(\varphi_i\) gleichen Grades in den \(x_k\) definiert sind: \[ y_1=\varphi_1(x),\dots,y_m=\varphi_m(x), \tag{2} \] und \(\mathfrak a_y\) das homogene Ideal aller Formen \(f(y)\) bedeutet, für die \[ f \big(\varphi (x)\big)\equiv0\;(\text{mod}\,\mathfrak a) \] ist. Mit \(\mathfrak a_x\) ist auch \(\mathfrak a_y\) Primideal. Als Hauptsatz der Transformationstheorie wird dann bewiesen: Ist \[ \mathfrak p_x=(p_1,\dots,p_s) \] ein Primideal vom Range \(r\), \(\mathfrak p_y\) das nach (2) transformierte Primideal vom Range \(\varrho\) und bedeutet \(\sigma\) den Rang (\(\text{mod}\, \mathfrak p\)) der Matrix \[ \left({{\dfrac{\partial p_l}{\partial x_k}}\atop{\dfrac{\partial \varphi_i} {\partial x_k}}}\right) \qquad\begin{aligned} (l&=1,2,\dots,s)\\ (i&=1,2,\dots,m)\\ (k&=1,2,\dots,n) \end{aligned}, \] so gilt \[ \varrho+\sigma=m+r. \] Beim Beweise wird von den obengenannten Differentialkongruenzen Gebrauch gemacht. Im letzten Paragraphen werden noch birationale, und im besonderen Cremona\-transformationen (\(m = n\)) behandelt. Hier wird der Satz bewiesen, daß für die Grad\-zahlen \(\mu\), und \(\nu\) einer solchen Transformation die Ungleichungen \[ \mu\leqq\nu^{n-2}, \nu\leqq\mu^{n-2} \] gelten. (V 5 C.)