Multipolar and multiglobular coordinates. (Q2597497)

Im \(S_n\) seien \(n\) Punkte \(A_1\),\dots, \(A_n\) gegeben, die einen \(S_{n-1}\) aufspannen. Die multi\-polaren Koordinaten \(\lambda_1\),\dots, \(\lambda_n\) eines Punktes \(P\) seien die Quadrate der Entfernungen von \(P\) von den Punkten \(A_i\). Liegt \(P\) in \(S_{n-1}\), so besteht eine quadratische Gleichung in den \(\lambda_i\). Man kann sie als die Bedingung deuten, daß die Hyperebene \(\lambda_rx^r= 0\) eines Raumes \(R^n\) eine gewisse Quadrik \(K\) berührt. Die Menge \(M\) der Punkte in \(S_{n-1}\), die eine lineare Gleichung \(u^r\lambda_r=0\) erfüllen, ist dann auf die Menge der Tangentialebenen von (\(u^r\)) an \(K\) oder auch auf den Punkt (\(u^r\)) oder auch auf seine Polare bezüglich \(K\) abgebildet. Liegt (\(u^r\)) außerhalb \(K\), so ist \(M\) eine Kugel. Liegt (\(u^r\)) auf \(K\), ist \(M\) ein Punkt. Andernfalls führt Verf. virtuelle Kugeln ein (die Deutung als Kugel mit ima\-ginärem Radius verwirft er). Verf. findet einfache Ausdrücke für die gegenseitige Potenz zweier Kugeln und definiert die multiglobularen Koordinaten einer Kugel als die Potenzen in bezug auf \(n + 1\) feste Kugeln. Diese Koordinaten stellen sich als Ver\-allgemeinerungen der multipolaren Koordinaten dar. -- Durch die Abbildung des \(S_{n-1}\) auf den \(R_n\) wird die Inversion an einer Kugel zu einer kollinearen Involution; Orthogonalität zweier Kugeln wird zur Polarität der Bildpunkte in bezug auf \(K\); es lassen sich lineare Systeme von Kugeln definieren und aus jener Abbildung Sätze darüber ablesen.