Sui residui relativi ai punti uniti delle corrispondenze fra varietà sovrapposte. (Q2597545)

Vier allgemeine \(S_{r-1}\), die in einem \(S_{2r-1}\) liegen, besitzen genau \(r\) unabhängige projektive Invarianten, nämlich die Doppelverhältnisse ihrer vier Schnittpunkte auf den \(r\) gemeinsamen Treffgeraden. Hat man also auf einer Mannigfaltigkeit \(W_{2r}\) zwei \(\infty^r\)-Kongruenzen erster Ordnung von Mannigfaltigkeiten \(A_r\), \(B_r\) und treffen sich auf ihr zwei weitere Mannigfaltigkeiten \(C_r\), \(C_r^{\prime}\) in einem einfachen Punkte \(O\), so gibt die Anwendung auf die in \(O\) an \(A_r\), \(B_r\), \(C_r\), \(C_r^{\prime}\) gezogenen Tangentialräume \(r\) Schnittinvarianten von \(C_r\), \(C_r^{\prime}\), die gegenüber einfach-differenzierbaren topologischen Transformationen der \(W_{2r}\) kovariant sind. Es sei nun \(\varGamma\) eine reguläre \(\infty^r\)-Korrespondenz auf \(V_r = V_r^{\prime}\) mit dem einfachen Deckpunkt \(\varOmega\); setzt man \(W_{2r}=V_r \times V_r^{\prime}\), \(A_{r}=V_r \times P^{\prime}\), \(B_{r}=P \times V_r^{\prime}\), worin \(P\), \(P^{\prime}\) je einen festen Punkt aus \(V_r\), \(V_r^{\prime}\) bezeichnen, ist ferner \(C_r\) die Mannigfaltigkeit der Paare \((P, P^{\prime})\), in denen \(P^{\prime}\) durch \(\varGamma\) zu \(P\) zugeordnet ist, und schließlich \(C_r\) das Bild der Paare \((P, P')\), so gibt die Anwendung des Vorangehenden im Punkte \(O = (\varOmega, \varOmega)\) \(r\) Schnittinvarianten \(\lambda_1, \ldots \!, \lambda_r\), die mit den Dilatationskoeffizienten von \(\varGamma\) in \(\varOmega\) (vgl. \textit{Segre}, Atti Accad. naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. fis. mat. nat. (6) 24 (1936), 195-200; F.~d.~M. 62\(_{\text{I}}\), 747) übereinstimmen. Die Größe \[ \omega=\sum_{\nu=1}^{r} \frac{1}{1-\lambda_{\nu}} \] heißt das Residuum von \(\varGamma\) in \(\varOmega\). Die Summe der Residuen von \(\varGamma\) und \(\varGamma^{-1}\) in \(\varOmega\) ist gleich \(r\). Im Falle analytischer Mannigfaltigkeiten und Korrespondenzen können diese Residuen mit den Residuen einer gewissen analytischen Funktion identifiziert werden. Ist \(\varGamma\) eine \((\alpha,\beta)\)-Korrespondenz mit der Wertigkeit \(\gamma\) und den Rangzahlën \(\delta_1, \ldots \!, \delta_{r-1}\) mit endlichvielen Deckpunkten, hat ferner \(V_r\) die Zeuthen-Segresche Invariante \(J_r\), so gilt für die Summe aller Residuen in den Deckpunkten die Beziehung \[ \sigma=\varSigma \omega = \delta_1 + 2\delta_2 + \cdots + (r-1) \delta_{r-1} + r\beta - \gamma \left\{ \frac{r(r-1)}{2} + (-1)^r \frac{r}{2} J_r \right\}, \] deren Koppelung mit der analogen Gleichung für \(\varGamma^{-1}\) das Severische Korrespondenzprinzip ergibt.