Sulla totalità degli spazi di dimensione massima giacenti su di una quadrica di \(S_n\), con particolare riguardo al caso \(n=7\). (Q2597570)

Die linearen Räume höchster Dimension, die auf einer \(V_{n-1}^2\) des \(S_n\) liegen, haben die Dimension \(k + \varepsilon - 1\), wenn \(n = 2k + \varepsilon\) \((\varepsilon = 1\) oder 0) ist, und bilden ein oder zwei kontinuierliche rationale Systeme der Dimension \(\frac{1}{2}k(k + 1)\), je nachdem \(\varepsilon= 0\) oder 1 ist. Diese Systeme sind für \(n \leqq 5\) überdies linear, während für \(n = 6\) oder 7 ihre Elemente sich ausnahmslos eineindeutig auf die Punkte einer Quadrik \(V_6^2\), abbilden lassen. Diese Abbildung untersucht Verf., ausgehend von ihrer analytischen Darstellung. Es seien also \(Q\) und \(Q'\) zwei nichtspezielle quadratische Hyperflächen des \(S_7\), \(S_3\), \(T_3\) (bzw. \(S_3^{\prime}\), \(T_3^{\prime})\) auf ihnen liegende Linearräume, die die Systeme \(\varSigma\), \(\theta\) (bzw. \(\varSigma'\), \(\theta'\)) von je der Dimension 6 beschreiben. Dann existiert eine \(\infty^9\)-Punktkorrespondenz \(\varOmega\) zwischen \(Q\) und \(Q'\), die jedem Punkte \(P\) von \(Q\) einen und nur einen \(S_3^{\prime}\) aus \(\varSigma'\) und jedem \(P'\) von \(Q'\) genau einen \(S_3\) aus \(\varSigma\) zuordnet. Diese Zuordnungen heißen \(\varOmega_0\), \(\varOmega_0^{\prime}\). Beschreibt dann \(P\) einen \(T_3\), so schneiden die zugeordneten \(\infty^3\) \(S_3^{\prime}\) einen festen \(T_3\) in lauter Ebenen und umgekehrt, so daß \(\varOmega\) zwischen den Systemen \(\theta\), \(\theta'\) eine ausnahmslos eineindeutige Korrespondenz \(\varOmega_3\) erzeugt. Den Punkten einer Geraden \(r\) von \(Q\) ordnet \(\varOmega_0\) Räume \(S_3^{\prime}\) zu, die durch eine Gerade \(r'\) laufen, so daß eine ausnahmslos birationale Abbildung \(\varOmega_1\) der Geradengesamtheiten von \(Q\) und \(Q'\) entsteht. Jede dieser vier Abbildungen \(\varOmega_0\), \(\varOmega_0^{\prime}\), \(\varOmega_1\), \(\varOmega_3\) bestimmt die andern drei, sowie \(\varOmega\), eindeutig. Des weiteren untersucht Verf. Eigenschaften, Anwendungen und Konstruktionen dieser Abbildungen. Beispielsweise bildet sich ein Paar inzidenter konjugierter Geraden wieder in ein solches Paar, dagegen ein Paar inzidenter, nicht konjugierter Geraden in ein Paar windschiefer, konjugierter Geraden ab und umgekehrt. Eine Regelschar auf \(Q\) wird in eine solche auf \(Q'\) übergeführt, wobei komplementäre Scharen in konjugierte übergehen. Einem irreduziblen Kegelschnitt auf \(Q\) wird eine Segre-\(V_4^4\) zugeordnet, deren erzeugende \(S_3^{\prime}\) zu \(\varSigma'\) gehören, usw. Wenn \(Q\) und \(Q'\) zusammenfallen, so gelangt man zu den involutorischen Korrespondenzen \(\varOmega_3\), die \(\theta\) in sich transformieren; es gibt deren zwei Typen: diejenigen erster Art, bei denen \(\infty^5\) \(T_3\) und nur diese festbleiben, und diejenigen zweiter Art, bei denen \(\infty^1\) \(T_3\), die eine Segre-\(V_4^4\) bilden, und die \(\infty^3\) \(T_3\), die jeden dieser Räume in Geraden schneiden, fest bleiben. Alle Abbildungen erster bzw. zweiter Art sind untereinander projektiv identisch.