Un teorema fondamentale della geometria sulle superficie algebriche ed il principio di spezzamento. (Q2597606)

Die Arbeit gibt einen neuen algebraisch-geometrischen Beweis für den fundamentalen Satz, daß auf einer algebraischen Fläche \(F\) jedes vollständige stetige System algebraischer Kurven auf seiner allgemeinen Kurve eine vollständige charakteristische Schar liefert. Die ebendahin zielenden Beweisversuche von \textit{Enriques} (Rend. Sem. mat. Univ. Roma (4) 1 (1936), 1-9; Atti Accad. naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. fis. mat nat. (6) 25 (1937), 193-197; F. d. M. \(62_{\text I}\), 776; \(63_{\text I}\), 622) weist Verf. als mit wesentlichen Lücken behaftet nach. Sein Beweis zeichnet sich gegenüber den Ansätzen von \textit{Enriques} dadurch aus, daß er infinitesimale Operationen vermeidet; daß diese allein zum Beweise nicht ausreichen können, zeigt das Beispiel eines vollständigen ebenen Kurvensystems, bei dem auf einer speziellen Kurve die charakteristische Schar nicht vollständig ist. Der Hauptgedanke des Beweises beruht auf der Herstellung einer Äquivalenzschar auf einer reduziblen Kurve, die als Grenze einer Linearschar auf einer stetig veränderlichen irreduziblen Kurve erscheint, und der Bemerkung, daß die Dimension der letzten die der ersten nicht überschreiten kann. Der gleiche Gedanke liefert einen wichtigen neuen Zerfällungssatz. Eine irreduzible Kurve \(E\) auf \(F\) variiere stetig, bis sie in zwei verschiedene irreduzible Komponenten \(C\) und \(D\) zerfällt, von denen mindestens eine eine effektive charakteristische Schar besitzt; diejenigen Schnittpunkte von \(C\) und \(D\), die nicht Grenzlagen von Doppelpunkten von \(E\) sind, heißen dann die Verbindungspunkte dieser Komponenten. Dann ist die Zahl dieser Verbindungspunkte im allgemeinen \(\geqq p_g+1\) und kann nur dann \(< p_g\) (aber sicher \(\geqq1\)) sein, wenn diese Punkte den (noch nicht von den ausgezeichneten Kurven befreiten) kanonischen Kurven von \(F\) linear-abhängige Durchgangsbedingungen auferlegen. Dieser Satz gibt eine neue Möglichkeit der geometrischen Definition von \(p_g\).