I sistemi di equivalenza sulle varietà algebriche e le loro applicazioni. (Q2597608)

Die Arbeit gibt einen zusammenfassenden Überblick über die endgültige Form der vom Verf. in zahlreichen Abhandlungen entwickelten Theorie der Äquivalenzsysteme auf einer algebraischen Mannigfaltigkeit \(M_r\). Es werden zunächst die virtuellen Mannigfaltigkeiten und ihre Schnitte erklärt: Eine virtuelle algebraische Mannigfaltig- \(V_k\) ist die algebraische Summe effektiver Mannigfaltigkeiten, also die Differenz zweier effektiver Mannigfaltigkeiten. Ein Äquivalenzsystem \(k\)-ter Gattung auf \(M_r\) ist dann das vollständige Schnittsystem von \(r-k\) Linearsystemen virtueller \(V_{r-1}\) auf \(M_r\), wobei von festen und halbfesten Mannigfaltigkeiten abzusehen ist. Es gelten zwei grundlegende Sätze: 1) Ist \(M_r\) in \(S_g\) eingebettet, so kann jedes Äquivalenzsystem \(k\)-ter Gattung auf \(M_r\) dadurch erhalten werden, daß man \(M_r\) mit einer Familie virtueller \(V_{d+k-r}\) schneidet und von festen und halbfesten Mannigfaltigkeiten absieht, und umgekehrt. 2) Kennzeichnend dafür, daß ein algebraisches System von \(V_k\) ein Äquivalenzsystem sei, ist, daß es in einem rationalen System von Mannigfaltigkeiten gleicher Ordnung und Dimension enthalten sei. Es folgt die bekannte topologische Kennzeichnung der Pseudoäquivalenzsysteme, d. h. solcher, von denen ein positives ganzzahliges Vielfaches zum Äquivalenzsystem wird. Für Äquivalenzsysteme sind bisher wegen der mit dem Auftreten der Torsionen verbundenen Schwierigkeiten nur notwendige topologische Eigenschaften bekannt. Die transzendente Kennzeichnung der Pseudoäquivalenzscharen gründet sich auf die Differentialformen \(\varphi\) erster Gattung und \(l\)-ten Grades (\(l=1,\ldots,r-1\)); die Summe der in den Punkten einer Gruppe aus der Schar gebildeten Werte von \(\varphi\) ist Null. Die Umkehrung ist unerledigt; man weiß nur für Flächen, daß eine Schar von Punktgruppen als Pseudoäquivalenzschar dadurch gekennzeichnet ist, daß in ihren Gruppen alle linearen und quadratischen Differentialformen erster Gattung die Summe Null ergeben. Zum Schluß bespricht Verf. die invarianten Äquivalenzscharen auf einer algebraischen Fläche und die damit zusammenhängende Erweiterung des Riemann-Rochschen Satzes.