The intersection of certain quadrics. (Q2597625)

Im Raume \([2n]\) enthält eine quadratische Mannigfaltigkeit \(M_{2n-1}^2\) eine einzige Familie von linearen Räumen höchster Dimensionenzahl \([n - 1]\). Die Höchstzahl linearer Räume \([n 1]\), die man einer \(M_{2n-1}^2\) vorschreiben kann, beträgt (für \(n > 1\)) vier. Verf. untersucht das System der \(\infty^n\) \(M_{2n-1}^2\), die durch vier Räume \([n- 1]\) allgemeiner Lage \(a, b, c, d\) laufen. Die quadratischen Mannigfaltigkeiten schneiden sich in einer \(V_{n-1}\) der Ordnung \(2^{n+1}\). Diese stark ausgeartete Basismannigfaltigkeit bildet den Hauptgegenstand der Arbeit. Die Untersuchung bedient sich zweier Hilfsmittel. Einmal werden mit \(a, b, c, d\) invariant verbundene lineare Räume gesucht, die jeder \(M_{2n-1}^2\) des Systems und daher der Basis angehören müssen, und dann werden spezielle \(M_{2n-1}^2\) des Systems behandelt, deren Schnittmannigfaltigkeiten die Basis enthalten müssen. Die erste Methode liefert (\S\, 1) die \(4n\) Mannigfaltigkeiten \(V_{2r}(A), V_{2r}(B), V_{2r}(C), V_{2r}(D)\); \(V_{2r+1}(A'), V_{2r+1}(B'), V_{2r+1}(C'), V_{2r+1}(D')\). Dabei ist \(V_{2r}(A)\) (mit \(0\leqq 2r\leqq n - 1\)) als Mannigfaltigkeit \(V_{n-1}\) aller \([2r]\) definiert, die \(a\) in einem Raume \([r], b, c, d\) in Räumen \([r - 1]\) schneiden. \(V_{2r+1}(A')\) (mit \(0\leqq 2r+1\leqq n-1\)) ist die Mannigfaltigkeit \(V_{n-1}\) aller \([2r + 1]\), die \(a\) in einem Raume \([r -1]\) und \(b, c, d\) in je einem \([r]\) schneiden. Die zweite Methode (\S\, 2) liefert als Schnitt der drei ausgezeichneten \(V_{2n-1}^2\), die aus den Verbindungsräumen \((ab), (cd)\) oder \((ac), (bd)\) oder \((ad), (bc)\) bestehen, acht \([2n - 3]\): \(A, B, C, D, A', B', C', D'\). Die oben erklärten Mannigfaltigkeiten \(V_{2r}\) und \(V_{2r+1}\) liegen bzw. in diesen Räumen und können mit Hilfe von Elementen erklärt werden, die diesen Räumen angehören. Diese neuen Erklärungen gestatten in \S\, 3 die Berechnung der Ordnungen der \(V_{2r}, V_{2r+1}\). In \S\, 4 wird gezeigt, daß die Basis ganz von diesen Mannigfaltigkeiten gebildet wird. \S\S\, 5--7 beschäftigen sich mit der gegenseitigen Lage von Teilen der Basis. In \S\, 5 wird untersucht, wie die acht \([2n - 3]\), welche die Basis enthalten, die verschiedenen Teile der Basis schneiden. \S\, 6 und \S\, 7 behandeln die gegenseitige Lage von Teilen der Basis, die in demselben Raume \([2n - 3]\) oder in verschiedenen Räumen \([2n 3]\) liegen. Zu Beginn der Arbeit werden die Fälle \(n = 2, 3, 4\) genauer besprochen. (V 5 B.)