Les courbes planes ou gauches et les surfaces composées de parties semblables au tout. (Q2597661)

Behandelt wird die Frage nach \textit{allen} Kurven im (euklidischen) \(R_2\) und \(R_3\), ``welche zu sich selbst in den kleinsten Teilen ähnlich'' sind. Erstes Beispiel einer solchen Kurve war die von \textit{Koch}sche (Ark. Mat. Astron. Fysik 1 (1904), 681-702; Acta math., Stockholm 30 (1906), 145-174; F. d. M. 35, 387 (JFM 35.0387.*); 37, 413). Dabei bedeutet ``Kurve'' oder ``Bogen'' soviel wie eindeutiges, stetiges Streckenbild. Und zwei Bogen \(\mathfrak x=F_j(t_j)\), \(t_j'\leqq t_j\leqq t_j^{\prime\prime }\), \(j = 1, 2\), heißen (gleich- oder gegensinnig) \textit{ähnlich}, wenn eine topologische Abbildung \(t_2= \varphi (t_1)\) der Intervalle \([t_1',t_1^{\prime\prime }]\) und \([t_2',t_2^{\prime\prime }]\) aufeinander existiert derart, daß die Punkte \(F_1(t_1)\) und \(F_2\bigl(\varphi (t_1)\bigr)\) sich vermöge einer (gleich- bzw. gegensinnigen) Ähnlichkeit entsprechen (\(t_1'\leqq t_1\leqq t_1^{\prime\prime }\)). Eine Kurve heißt vom \textit{Range} \(p\), wenn das Urbildintervall darstellbar ist als Summe von \(p\) bis auf die Endpunkte fremden, abgeschlossenen Teilintervallen derart, daß jeder der je einem Teilintervall entsprechenden Teilbogen ähnlich ist zur (ursprünglichen) Kurve. Die betrachteten Kurven sind nun solche, für die jeder der \(p\) Teilbogen seinerseits vom Range \(p\) ist usw. Die Kurven sind also insbesondere vom Range \(p^n\) gleichzeitig für jedes \(n = 1, 2,\ldots \). Auch die Kurven unendlichen Ranges werden einbezogen. Der Definition des Ranges \(p\) entsprechend erhält man \textit{alle} Kurven der betrachteten Art als Limiten der durch die Endpunkte der Teilbogen bestimmten eingeschriebenen Streckenzüge. Die Eigenschaften (insbesondere auch die lokalen) dieser Kurven, vor allem der ebenen, werden eingehend untersucht; auch der von Kochschen Kurve und anderen Beispielen (insbesondere für \(p=2\)) sind Betrachtungen gewidmet. Schließlich wird die Frage nach Flächen angeschnitten, die zu sich selbst in den kleinsten Teilen ähnlich sind, ohne daß aber alle derartigen Flächen bestimmt werden.