Ebene Kinematik. Eine Vorlesung. (Q2597838)

Man kann, wie 1911 im Anschluß an \textit{E. Study }etwa gleichzeitig von \textit{W. Blaschke} (Z. Math. Physik. 60 (1911), 61-91; F. d. M. 42, 499 (JFM 42.0499.*)) und \textit{J. Grünwald} (S.-B. Akad. Wiss. Wien, math.-naturw. Kl. II, 120 (1911), 677-741; F. d. M. 42, 702 (JFM 42.0702.*)) gezeigt wurde, die ebene Kinematik durch die sogenannte \textit{kinematische Abbildung} in Beziehung setzen zur ``\textit{quasielliptischen Raumgeometrie}'', d. i. jenem Grenzfalle der elliptischen Geometrie, wo die beiden konjugierten Regelscharen der Maßfläche zweiter Ordnung in zwei konjugierte Paare verschränkter Strahlbüschel zerfallen. Dieser Gedanke war 1911 von \textit{W. Blaschke} schon recht ausführlich nach seiner \textit{algebraischen} Seite durchgeführt worden. Ein Teil dieser Untersuchungen ist in den ersten ``\textit{algebraischen Teil\,}'' der vorliegenden Vorlesung aufgenommen worden. Er behandelt der Reihe nach: die kinematische Abbildung in geometrischer und rechnerischer Darstellung; die Studyschen Quaternionen und ihre Anwendung auf die Darstellung der Bewegungen und Umlegungen einer Ebene -- ihr eleganter Kalkül bildet das adäquate analytische Hilfsmittel des ganzen Buches; den Cliffordschen Parallelismus im quasielliptischen Raum; die (in sich duale) quasielliptische Geometrie und ihre einfachsten Invarianten; den natürlichen Äquivalenzbegriff der ebenen Kinematik. Völlig Neues bringt der zweite ``\textit{differentialgeometrische Teil\,}'' der Vorlesung. Eine eingliedrige oder zweigliedrige kontinuierliche Bewegung der Ebene überträgt sich durch kinematische Abbildung auf eine gewisse Kurve oder Fläche des quasielliptischen Raumes. Deren quasielliptische Differentialgeometrien enthalten in übersichtlicher Weise die elementaren differentiellen Eigenschaften der kontinuierlichen ebenen Bewegungen. Zur Durchführung dieses Gedankens wird nun erstmalig die \textit{Differentialgeometrie} \textit{der Kurren und Flächen im quasielliptischen Raume} in der prägnanten Quaternionen-Schreibung entwickelt. Es wird mit den Punkten einer \textit{Kurve} ein ``\textit{begleitender Vierling}'' (Tetraeder) quasielliptisch-invariant verbunden und für seine Punkte und Ebenen das System der \textit{Ableitungsgleichungen} aufgestellt. Man erhält so Krümmung \(K\) und Windung \(W\) sowie die natürlichen Gleichungen der Kurve, die sie wieder bis auf Quasibewegungen festlegen. Es folgen die kinematischen Anwendungen: Drehpol, Polbahnen und ihre Krümmung, Wendekreis, Formel von Euler-Savary, Hüllbahnen, Rückkehrkreis. Die Differentialgeometrie der \textit{Flächen} kann gegründet werden auf zwei ``natürliche'' Gaußsche Parameter \(\lambda, \mu\), und eine (nach willkürlicher Wahl einer geradlinigen ``Achse'' \(A\)) für die Fläche charakteristische \textit{Stützfunktion } \(F(\lambda, \mu)\). Mit jedem Flächenpunkt läßt sich wieder ein begleitender Vierling verbinden, der das System der \textit{Ableitungsgleichungen} der Fläche liefert. Man findet zwei (von der Wahl der Achse \(A\) unabhängige) Grundinvarianten: den quasielliptischen Krümmungshalbmesser \[ R = F + F_{\mu\mu} \] der \(\mu\)-Kurven der Fläche und sein duales Analogon \[ S=F+F_{\lambda\lambda}, \] beide verbunden durch \[ R + R_{\lambda\lambda} = S + S_{\mu\mu}.\tag{*} \] Umgekehrt bilden \(R(\lambda, \mu)\) und \(S (\lambda, \mu)\) ein \textit{vollständiges Invariantensystem} der Fläche \(F\). Sind sie durch \(({}^*)\) verbunden, so bestimmen sie bis auf quasielliptische Bewegungen eindeutig eine Fläche. Nach Dualisierung der Ableitungsgleichungen werden einige Begriffe der elementaren Differentialgeometrie auf den quasielliptischen Fall übertragen. Die Analoga des Eulerschen und Meusnierschen Satzes werden aufgestellt. Schließlich werden noch die im quasielliptischen Sinne \textit{parallelen Flächen} und ihre Evolutenfläche sowie ein gewisses Analogon davon betrachtet. Es folgt die Übertragung der quasielliptischen Differentialgeometrie der Flächen \(F (\lambda, \mu)\) auf die Theorie der zweigliedrigen Bewegungsvorgänge der Ebene. Hier findet sich der \textit{Satz}: Die Drehpole \(l, r\), die zu festen \(\lambda, \mu\) einer zweigliedrigen Bewegung \(F(\lambda, \mu)\) gehören, beschreiben zwei längentreu aufeinander bezogene Geraden \(H(\lambda, \mu)\), \(H'(\lambda, \mu)\). Die Zuordnung \(H\to H'\) ist \textit{dichtetreu}. Zu einer vorgeschriebenen Zuordnung dieser Art gehört immer eine Schar paralleler Flächen im quasielliptischen Raum. Im besonderen wird nun der Fall studiert, wo die genannte \textit{Dichte identisch} \textit{verschwindet} \((R = S)\). Im Raume entsprechen ihm quasielliptische \textit{Schiebflächen} mit Schmiegtangentenlinien als Schiebkurven, also die quasielliptischen Analoga der von \textit{Bianchi} entdeckten Flächen der Krümmung Null im elliptischen Raume. Der zugehörige ebene Bewegungsvorgang besteht darin, daß alle Lagen einer bewegten Kurve \(L\) eine feste Kurve \(L'\) berühren. Es werden nun die \textit{Ableitungsgleichungen} für zweigliedrige Bewegungen aufgestellt. Schließlich wird die Frage nach den allgemeinsten \textit{mehrfachen Schiebflächen} des quasielliptischen Raumes aufgeworfen. Ihr kinematisches Abbild ist in der Ebene ein zweigliedriger Bewegungsvorgang, bei dem ein System \(A\) einen Zwanglauf \(a (\alpha)\) und ein an ihm befestigtes System \(B\) einen Zwanglauf \(b(\beta)\) ausführt. Mit einigen Bemerkungen über Gelenkwerke schließt die inhaltsreiche und anregende Vorlesung, deren schönes Verdienst es ist, dem klassischen Gebiete der ebenen Kinematik durch eine Fülle moderner Gedanken neue Impulse verliehen zu haben. Nachtrag zum Literaturverzeichnis: \textit{E. Daseke}, Zur Theorie der Geradführungen (Dissertation Bonn 1927; F. d. M. 53, 728 (JFM 53.0728.*)). (V 6 C, VI 2.) Besprechungen: M. Pastori, Periodico Mat. (4) 19 (1939), 229-230. E. Bompiani, Boll. Un. mat. Ital. (2) 1 (1939), 84-85.