Riflessioni sulla cinematica classica. (Q2597839)

Es werden einige grundlegende Ideen der Theorie der von zwei Parametern \(u, v\) abhängigen kontinuierlichen Bewegungen der Ebene entwickelt. -- Zunächst werden für einen eingliedrigen Bewegungsvorgang in komplexer Schreibweise Bernoullis Momentanpol und Chasles Polkurven hergeleitet. Sodann wird gezeigt, daß ein von zwei Parametern \(u, v\) abhängiger Bewegungsvorgang \(M (u, v)\) an jeder Stelle \((u, v)\) in der festen und der bewegten Ebene \(P\) und \(\varPi\) Anlaß gibt zu einer \textit{Momentanachse} \(r (u, v)\) bzw. \(\varrho (u, v)\). Die Beziehung \(r \to \varrho\) ist nicht beliebig. Es gilt vielmehr der schöne und \textit{charakteristische Satz}, daß sie im Croftonschen Sinne \textit{dichtetreu} ist. (Vgl. \textit{W. Blaschke}, Vorlesungen über Integralgeometrie I (1936); JFM 61.0761.*). Spiegelt man die Lagen \(M(u, v)\) des bewegten Systems an den Momentanachsen \(r(u, v)\), so bestimmen die neuen Lagen \(N(u, v)\) einen neuen, zu \(M (u, v)\) ``reziproken'' Bewegungsvorgang (der von dem sogenannten ``inversen'' wohl zu unterscheiden ist). Eine neue Charakterisierung der Momentanachse \(r (u, v)\) enthält dann der \textit{Satz}, daß \(N(u, v)\) nur für sie stationär ist, d. h. (für beliebiges \(du: dv\)) auch noch zu \(M (u +du, v+ dv)\) spiegelbildlich ist. Den einfachsten Bewegungsvorgang \(M (u, v)\) erhält man für \(N =\) const. Die Lagen von \(M\) sind dann zu jenen des festen \(N\) bezüglich der Geraden der Ebene spiegelbildlich. Es gibt auf jeder Momentanachse im allgemeinen zwei Pole [von eingliedrigen Vorgängen aus \(M (u,v)]\) derart, daß die Drehungen um sie mit der Bewegung drei Nachbarlagen gemein haben. Sie sind durch eine quadratische Form \[ A du^2 + 2Bdudv + C dv^2 = 0\tag{*} \] bestimmt. Diese verschwindet identisch nur für die Bewegungen mit \(N = \) const. Für eingliedrige Vorgänge aus \(M (u, v)\), die \(({}^*)\) erfüllen, sind die Polkurven einfach die Einhüllenden der zugehörigen Momentanachsen. Es ist möglich, die Lagen einer Ebene so auf die Punkte eines \(R_3\) abzubilden, daß den zu einer festen Lage symmetrischen die Punkte einer Ebene entsprechen. Dieser \(R_3\) erhält dabei eine sogenannte \textit{quasielliptische Metrik}. (Vgl. \textit{W. Blaschke}, Euklidische Kinematik und nichteuklidische Geometrie, Z. Math. Physik 60 (1911), 61-91, 203-204; F. d. M. 42, 499 (JFM 42.0499.*).) \textit{Die Differentialgeometrie der Flächen des quasielliptischen Raumes fällt dann mit der Geometrie der zweigliedrigen Bewegungsvorgänge der Ebene zusammen.} Z. B. ist \(({}^*)\) die Gleichung der Haupttangentenkurven. Man vergleiche dazu die ausführliche Darstellung in \textit{W. Blaschke}, Ebene Kinematik (1938; vgl. vorstehendes Referat). Analoge Gedanken werden schließlich auch für den Raum angedeutet, wo sich engste Zusammenhänge mit \textit{Study}s kinematischen Ideen und gewissen Integralformeln der Kinematik ergeben. (V 6 C, VI 2.)