On the deformation of the tangent \(m\)-plane of a \(V_n^m\). (Q2597862)

Eine \(V_n^m\) wird gegeben durch die Verbindungsgröße \[ B_i^\varkappa \quad (\varkappa =1,\ldots, n; \;\;i=1,\ldots, m). \] Ein Vektorfeld \(v^\varkappa\) bestimmt eine Deformation. Verf. betrachtet das scheinbare Differential \(\overset{23}{\delta}\), das Liesche Differential \(\overset{13}{\delta}\) und das kovariante Differential \(\overset{12}{\delta}\). Für \(B_i^\varkappa\) z. B. gilt \[ \begin{aligned} &\overset{23}{\delta}B_i^\varkappa=B_i^\mu (\partial_\mu v^\varkappa + \varGamma^\varkappa_{\nu\mu}v^\nu)dt,\\ &\overset{12}{\delta}B_i^\varkappa=(v^\mu \partial_\mu B^\varkappa_i B^\mu_{i}\partial_\mu v^\varkappa)dt.\\ \end{aligned} \] Der tangierende \(m\)-Vektor ist \(B^{\varkappa_1}_{[1}\ldots B^{\varkappa_m}_{m]}\). Verf. gibt die Deformation dieser Größe an. Insbesondere wird \(\overset{12}{\delta}B^{\varkappa_1}_{[1}\ldots B^{\varkappa_m}_{m]}\) betrachtet für den Fall, daß \(v^\varkappa\) in der tangentiellen \(m\)-Richtung enthalten ist. Es wird die Deformation des Volumelementes der lokalen \(R_m\) abgeleitet und die Bedingung angegeben dafür, daß die deformierte \(m\)-Richtung zu der ursprünglichen \(m\)-Richtung parallel ist.