Die symmetrischen periodischen Bahnen des restringierten Dreikörperproblems in der Nachbarschaft eines kritischen Keplerkreises. (Q2598055)

Verf. zeigt, daß die Mannigfaltigkeit der periodischen Bahnen (\(K\)), die zur Syzygienachse symmetrisch und topologisch einem Kreise äquivalent sind, im eingeschränkten Dreikörperproblem in der Nachbarschaft einer kritischen kreisförmigen Bahn \(K_{0}\) eine Darstellung der Form \[ \mu =\xi (\varkappa -\tfrac{1}{2}\sqrt{a}\xi ^2+\dots )\,E(\varkappa, \xi ),\;\;E(0, 0)\neq0, \] zuläßt, wo \(\varkappa \) die Differenz der Jacobischen Konstanten für \(K\) und \(K_{0}\), \(\mu \) das Verhältnis der endlichen Massen, \(\xi \) der \((m + 1)\)-te Fourierkoeffizient (\(m =\)\; Hillsches Periodenverhältnis) in der Entwicklung des Radiusvektors von \(K\) in eine Cosinusreihe nach Vielfachen der Elongation und \(a\) der Radius von \(K_{0}\) ist. Es existiert eine natürliche Schar periodischer Bahnen erster oder zweiter Sorte, je nachdem man \(\varkappa \) einen festen negativen oder positiven hinreichend nahe bei 0 gelegenen Wert erteilt. Für \(\varkappa = 0\) ergibt sich eine isoenergetische natürliche Schar, deren Bahnkurven für \(\mu \to 0\) gegen \(K_{0}\) streben. Es wird auseinandergesetzt, daß das \textit{Martin}sche Ergebnis (Amer. J. Math 53 (1931), 259-273; JFM 57.1022.*) über die Nichtexistenz einer derartigen natürlichen Schar auf natürliche Scharen mit \(\zeta =O(\mu ^{\frac{3}{4}})\) eingeschränkt werden muß, wo \(\zeta \) die Differenz zwischen den Längen der Radiusvektoren von \(K\) und \(K_{0}\) angibt. Die Existenz einer von \(K_{0}\) ausgehenden isoperiodischen Familie periodischer Bahnen wird dargetan.