The frequency of longitudinal and torsionai vibration of unloaded and loaded bars. (Q2598238)

I. Für die Längsschwingungen eines dünnen Stabes, der an einem Ende eingespannt ist und am freien Ende eine Masse \(M\) trägt (belasteter Stab), wird aus der bekannten Differentialgleichung und den Randbedingungen die Frequenzengleichung aufgestellt; aus ihr erhält man Näherungswerte für die Kreisfrequenz, wenn das Verhältnis \(c = M/M'\) (\(M' =\) Masse des Stabes) entweder klein oder groß ist. Die Formeln enthalten als Spezialfälle die schon von Rayleigh mit der Energiemethode gefundenen Näherungsausdrücke. II. Wenn die Querabmessungen des Stabes nicht zu vernachlässigen sind, so gilt für die Längsschwingungen eine andere, von Love aufgestellte Differentialgleichung. Die sich jetzt einstellenden Frequenzen werden für den unbelasteten Stab bei verschiedenen Randbedingungen exakt angegeben; für den belasteten Stab können aus der Frequenzengleichung (wie unter I) Näherungsausdrücke für die Frequenz bei kleinen und bei großen Werten von \(c\) hergeleitet werden. III. u. IV. Die Torsionsschwingungen eines dünnen Stabes bzw. eines Stabes mit endlichen Querabmessungen führen auf analoge Differentialgleichungen und Randbedingungen wie unter I. bzw. II., so daß sich die Frequenzen der Torsionsschwingungen ohne weitere Rechnung sofort angeben lassen. Für nicht kreisförmige Querschnitte muß bei Berücksichtigung der Querabmessungen die De Saint-Venantsche Torsionfunktion über den Querschnitt integriert werden.