Arithmetik und Kombinatorik bei Kant. (Q2598578)

Eine Klärung des Streites über die Grundlagen der Mathematik, insbesondere der Kontroversen zwischen Intuitionismus und Formalismus, erwartet Verf. von der wachsenden Erkenntnis, daß es sich hierbei um philosophische Probleme handelt. Zu ihrer Bearbeitung ist eine Verbindung systematischer und historischer Methoden erforderlich, insbesondere ist das Studium Kants von Nutzen. Die landläufige Ansicht, Kant habe von Mathematik nicht viel verstanden und in ihr nicht produktiv gearbeitet, erweist sich als falsch. Als Beleg hierfür dienen neben den Hauptwerken Kants seine ``Reflexionen'', seine Vorlesungen über Mathematik in den Jahren 1755-1762, sowie die von seinen Schülern, insbesondere J. Schulz, verfaßten mathematischen Lehrbücher. Diese weisen gegenüber denen aller Zeitgenossen einen grundlegenden Unterschied insofern auf, als sie einen axiomatischen Aufbau anstreben. Kant steht hiermit in einem Gegensatz zu Leibniz, dessen Ideal eine nur auf dem Satz des Widerspruchs beruhende axiomfreie Mathematik ist. Nach Kant beruhen Arithmetik und Geometrie in gleicher Weise auf Axiomen; ihren Aufbau sieht er allerdings im Gegensatz zur heutigen Auffassung nicht als deduktiv, sondern als konstruktiv an. Kant kennt eine Reihe von Sätzen, die der Mathematik zugrunde liegen, und die er als ``analytische Grundsätze'' bezeichnet. Es sind Sätze aus der allgemeinen Größenlehre wie ``das Ganze ist größer als seine Teile''. Sie werden allein aus den Definitionen und dem Satz des Widerspruches bewiesen. Es ist interessant, bei J. Schulz einen Beweis für jenen Satz zu finden unter der richtigen Einschränkung für endliche Größen. Um 1800 finden sich die Axiome der Arithmetik schon in drei Werken, die unmittelbar von Kant beeinflußt sind. Von hier aus führt ein direkter Weg zu Graßmann, M. Ohm, Hankel, Hamilton und Peano. Bei Kant wird die formale Schärfe der Mathematik bereits in vollem Umfange gefordert. J. Schulz beweist das kommutative Gesetz der Multiplikation durch Schluß von \(n\) auf \(n + 1\). Der synthetische Charakter der mathematischen Urteile beruht auf ihrer Abhängigkeit von den Axiomen. Die Entdeckung des kommutativen und assoziativen Gesetzes der Addition geht wahrscheinlich auf Kant selbst zurück, auch war er selbst maßgeblich an konkreter mathematischer Arbeit mitbeteiligt. Den negativen Zahlen und den Brüchen spricht Kant erst dann eine mathematische Bedeutung zu, wenn sie einen konkreten Sachverhalt beschreiben. Lamberts Beweis der Irrationalität von \(\pi\) war ihm bekannt. Die Kombinatorik sah man in der damaligen Zeit nicht nur für die Mathematik, sondern auch für Logik und Ontologie als bedeutsam an. Man sah in zusammengesetzten Begriffen Kombinationen einfacher, entsprechend faßte man Urteile als Kombinationen von zwei Begriffen, Schlüsse als Kombinationen von Urteilen auf. Schließlich glaubte man alle Möglichkeiten eines bestimmten Sachgebietes durch Kombination der Grundzeichen erschöpfend darstellen zu können. Doch lehnt Kant, während er in seiner Lehre von den analytischen Urteilen auf Leibniz zurückgeht, eine Ars characteristica universalis, wie überhaupt die Übertragung mathematischer Methoden auf die Philosophie ab. In seinen Reflexionen spricht er allerdings wieder von einer transzendentalen Analysis und von transzendentalen Algorithmen. Wenn auch Kant den ursprünglich heftigen Widerstand gegen Leibniz in bezug auf die Logistik aufgegeben hat, so finden sich doch weder bei ihm noch bei seinen Schülern nennenswerte Beiträge zu dieser Disziplin. Ein vollständiges und abgeschlossenes System der reinen Vernunft, eine systematische Ontologie, hatte Kant sich zwar als Ziel gesetzt. Er konnte es nicht erreichen; denn wegen des wesensmäßigen Anteils, den die reinen Anschauungen an einem solchen System haben, muß es grundsätzlich unabgeschlossen bleiben. -- Auf S. 20 findet sich ein Versehen; unter Nr. 5 muß es offenbar heißen: Arithmetik ist logisch deduktiv, Geometrie ist axiomatisch deduktiv.