On differential operators developed by O'Toole. (Q2598642)

Um symmetrische Funktionen einer Veränderlichen durch Potenzsummen \(s_{r}\) auszudrücken, hat \textit{O'Toole} (Ann. math. Statist., Ann Arbor, 2 (1931), 102-149; JFM 57.0635.*) Operatoren \(q_{r}\) und \(Q_{r}\) eingeführt mit \[ \begin{gathered} q_r=\frac{d}{ds_r},\quad rq_r=\frac{\sum(-1)^{k-1}(k-1)!\,rQ_A^{k_1}Q_B^{k_2}\cdots }{k_1!\;k_2!\cdots},\\ r!\,Q_r=\frac{\sum r!\,q_A^{k_1}q_B^{k_2}\cdots}{k_1!\,k_2!\cdots},\quad r=k_1A+k_2B+\cdots,\quad k=k_1+k_2+\cdots.\end{gathered} \] Verf. leitet diese Relationen auf kurzem Wege unter Benutzung der Hammondschen Operatoren (vgl. \textit{Macmahon}, Combinatory analysis I (1915)) \(d_{r}\) und \(D_{r}\) her, die mit \(q_{r}\) und \(Q_{r}\) in einfacher Weise zusammenhängen. Am Schluß wird der Fall symmetrischer Funktionen zweier Veränderlichen betrachtet. Die zugehörigen Operatoren finden sich auch bereits bei Macmahon und liefern Ergebnisse von O'Toole.