Combined expansions of products of symmetric power sums and of sums of symmetric power products with application to sampling. I, II. (Q2598645)

Des Verf. Verdienst ist es, zwischen weit auseinander liegenden Gebieten einen Zusammenhang hergestellt zu haben. Er leitet in Teil I zahlreiche für die mathematische Statistik wichtige Sätze der Algebra aus der additiven Zahlentheorie ab. Teil II gibt sodann die Anwendungen auf die Statistik. \textbf{I}. Kap. \(1\) behandelt die geordnete Zerfällung einer natürlichen Zahl \(r\) in natürliche Zahlen \[ r=p_1+p_2+\dots +p_\varrho (p_i\geqq p_{i+1}) \] oder \[ r=p_1\pi _1+p_2\pi _2+\dots +p_s\pi _s(p_i>p_{i+1}) \] mit \(\pi _1+\pi _2+\dots +\pi _s=\varrho \). (Die \(p_i\) der ersten Zerfällung stimmen im allgemeinen mit den gleichbezeichneten der zweiten Zerfällung nicht überein.) Er schreibt symbolisch für die erste Zerfällung \[ p_1p_2\dots p_\varrho,\;\;\;\text{für die zweite}\;\;\; p_1^{\pi _1}p_2^{\pi _2}\dots p_s^{\pi _s}. \] Die natürliche Zahl \(\displaystyle {1^r\choose p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}\) bedeutet die Zahl der möglichen Anordnungen, in denen \(r\) Größen des Wertes 1, die aber als voneinander verschieden betrachtet werden, zu einer Zerfällung \(p_p^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}\) zusammengefaßt werden können. Oder weniger abstrakt gesprochen: diese Zahl bezeichnet, auf wieviel Arten \(r\) Dinge in \(\pi _1+\pi _2+\dots +\pi _s=\varrho \) Schubfächer angeordnet werden können, so daß in die ersten \(\pi _1\) Schubfächer je \(p_{1}\) Dinge, in die zweiten \(\pi _2\) dagegen \(p_{2}\) Dinge usw. kommen. Es wird \[ {1^r\choose p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}=\frac{r!}{(p_1!)^{\pi _1}\dots (p_s!)^{\pi _s}\,\pi _1!\pi _2!\dots \pi _s!}. \] Die tatsächliche Durchführung einer solchen Anordnung bezeichnet Verf. mit \(P_{p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}\) so daß \[ P(1^r)=\textstyle \sum P_{p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s} \] wird. Das Summenzeichen ist hier mengentheoretisch zu verstehen. Die Summierung ist über alle möglichen geordneten Zerfällungen \(p_1\pi _1+p_2\pi _2+\dots +p_s\pi _s=r\) zu erstrecken. Dies sowie die Abkürzung \(\pi _1+\pi _2+\dots +\pi _s=\varrho \) soll bei jeder solchen Summe gelten. Allgemeiner bezeichnet Verf., wenn \(r\) Elemente \(a_{i}\) (natürliche Zahlen gleichen oder verschiedenen Wertes) genau wie früher die \(r\) Dinge in \(\varrho \) Schubfächern angeordnet werden, den Vollzug dieser Operationen wie vorhin mit \(P_{p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}\), die Menge aller dieser Anordnungen mit \(P(a_1a_2\dots a_n)\). In ein Schubfach zusammengehörige Elemente werden zu einander addiert, dagegen in verschiedene Schubfächer kommende durch ein Multiplikationszeichen symbolisch verbunden. Die Menge aller dieser Anordnungen bei festem \(p_1\), \(p_{2}\),\dots, \(p_{s}\); \(\pi _1\), \(\pi _2\),\dots, \(\pi _{s}\) nennt Verf. \(T_{p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}\). Bei \(r = 3\) haben wir also: \[ P(a_1a_2a_3)=P_3(a_1+a_2+a_3)+P_{21}(\overline{a_1+a_2}a_3)+ (\overline{a_1+a_3}a_2)+(\overline{a_2+a_3}a_1)+P_{111}(a_1a_2a_3) \] oder \[ P(a_1a_2a_3)=P_3T_3+P_{21}T_{21}+P_{111}T_{111}, \] wo das letzte Glied auch \(P_{1^3}\) \(T_{1^3}\) geschrieben werden kann. Es bleibt \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(A)} \hfill P(a_1a_2\dots a_r)=\textstyle \sum \,P_{p_1^{\pi _1}\cdots p_s^{\pi _s}}T_{p_1^{\pi _1}\cdots p_s^{\pi _s}}.\hfill} \] Verf. bemerkt noch, daß aus der selbstverständlichen Gleichung \(P(a_1)=P_1(a_1)\) und der symbolischen Multiplikation \[ P(a_1a_2\dots a_r)=P(a_1a_2\dots a_{r-1})\,P(a_r) \] die linke Seite von (A) rekursiv gewonnen werden kann. Die Multiplikation wird dabei so ausgeführt, daß man 1) bei jedem symbolischen Produkt, das in \(P(a_1\dots a_{r-1})\) rechter Faktor eines mit Index versehenen \(P\) ist, der Reihe nach zu jedem Faktor \(a_{r}\) addiert und den betreffenden Index um 1 erhöht, 2) jedes solche Produkt mit \(a_{r}\) symbolisch multipliziert und 1 zum Index von \(P\) beifügt, sodann alle unter (1) und (2) erhaltenen Glieder (mengentheoretisch) addiert. Es folgt z. B. \[ \begin{gathered} P(3)=P_13,\;\;P(32)=P_25+P_{11}32,\\ P(321)=P_36+P_{21}51+P_{21}42+P_{12}33+P_{111}321.\end{gathered} \] (S. 11, Z. 7-9 v. u., wo die dritte Formel mit einem Druckfehler behaftet ist). Die folgenden Kapitel von Teil I behandeln die Anwendung dieser Formeln in der Algebra. Bei \(N\) Veränderlichen \(x_i\) nennt Verf. die \(a\)-te Potenzsumme \[ \textstyle \sum\limits_{i=1}^{N}x_i^a=\{a\}, \] dagegen die Potenzproduktsumme \[ \textstyle \sum x_{i_1}^{a_1}x_{i_2}^{a_2}\dots x_{i_r}^{a_r}=\{a_1a_2\dots a_r\}, \] wo die Summe über alle verschiedenen Variationen \(r\)-ter Klasse ohne Wiederholung von 1, 2,\dots, \(N\) zu erstrecken ist. Sind z. B. die ersten \(\chi_1\) Zahlen \(a_i\) einander gleich, und zwar gleich \(q_1\), ebenso die \(\chi_2\) folgenden gleich \(q_{2}\),\dots, so schreibt Verf. kurz \(\{q_1^{\chi_1},\dots,q_t^{\chi_t}\}\). Die symmetrische Funktion, die gewöhnlich durch die linke Summe bezeichnet wird, und die Verf. mit \(M(q_1^{\chi_1},\dots,q_t^{\chi_t})\) bezeichnet, erfüllt \[ M(q_1^{\chi_1},\dots,q_t^{\chi_t})=\frac{\{q_1^{\chi_1},\dots ,q_t^{\chi_t}\}}{\chi_1!\,\chi_2!\dots \chi_t!}. \] Sie unterscheidet sich von der geschlungenen Klammer dadurch, daß in ihr jedes der verschiedenen Produkte nur einmal vorkommt. Insbesondere erfüllt die elementarsymmetrische Funktion \(r\)-ter Dimension \(M(1^r)\) die Gleichung \(M(1^r)=\dfrac{\{1^r\}}{r!}\). Aus der mengentheoretisch zu verstehenden Summe \[ T_{p_1\dots p_\varrho }=\textstyle \sum\sum a_{i_1}\sum a_{i_2}\dots \sum a_{i_{\varrho }} \] leitet Verf. die wirklichen Summen \[ T(p_1\dots p_\varrho )=\textstyle \sum\{\sum a_{i_1}\sum a_{i_2}\dots \sum a_{i_\varrho }\}\;\text{und}\;T(p_1)\dots (p_\varrho )=\sum\{\sum a_{i_1}\}\{\sum a_{i_2}\}\cdots\{\sum a_{i_\varrho }\} \] her. Hauptinhalt von Kap. 2, 3 des Teiles I ist der Beweis und die Anwendung der Sätze: Gilt (A), so ist \[ \begin{aligned} (B)\\(C)\end{aligned} \quad \begin{gathered} {\{a_1\}\, \{a_2\}\cdots \{a_r\}}= \textstyle \sum T(p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}),\\ \qquad{\{a_1a_2\dots a_r\}}= \textstyle \sum (-1)^{r-\varrho }(p_1-1)!{}^{\pi _1}\dots (p_s-1)!{}^{\pi _s}T(p_1)^{\pi _1}\dots (p_s)^{\pi _s}. \end{gathered} \hfill \] In Kap. 4 wird der Doppel-Entwicklungssatz \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(D)} \hfill \textstyle \sum k_{p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}\,T(p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s})=\sum K_{p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}T(p_1)^{\pi _1}\dots(p_s)^{\pi _s} \hfill} \] bewiesen. Aus gegebenen \(k\) findet man die \(K\) wie folgt. Es ist \[ K_r=\textstyle \sum\,(-1)^\varrho \,(\varrho -1)!\,\displaystyle {1^r\choose p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}k_{p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}. \] Weiter findet sich für jedes \(r_1+r_2=r\) durch symbolische Multiplikation \(K_{r_1r_2}=\overline{K_{r_1}K_{r_2}}\). Bei dieser ist jedes auftretende Produkt \(k_{b_1\dots b_u}\cdot k_{c_1\dots c_v}=k_{b_1\dots b_uc_1\dots c_v}\) zu setzen, und sodann sind die Indizes der Größe nach zu ordnen. Analog ist \(\overline{K_{r_1}K_{r_2}K_{r_3}}=K_{r_1r_2r_3}\) usw. erklärt. Die linke Seite des Doppel-Entwicklungssatzes bezeichnet Verf. auch mit \(K(a_1)\)\dots \((a_r)\). Bei Ersetzung von \(P(a_1\dots a_r)\) durch diesen Ausdruck und der \(P\) durch die \(K\) geht (A) in (D) über. Verf. schreibt weiter (auch in Teil II) vielfach \(P\) statt \(K\) und nennt dies bei gegebenen \(k\) die \(P\)-Funktionen der \(k\). Ferner werden für den Fall, daß alle \(k=1\) und daß \(k_{p_1^{\pi _1}\dots p_s^{\pi _s}}=\dfrac{n^{(\varrho )}}{N^{(\varrho )}}\) mit der Abkürzung \(m^{(i)}=\dfrac{m!}{(m-i)!}\) sind, die Formeln für diese \(P\)-Funktionen angegeben, was für Teil II wichtig ist. Kap. 5 behandelt den Zusammenhang zwischen der geordneten Zerfällung eines \(r\)-dimensionalen Gitterpunktvektors mit natürlichen Zahlen als Koordinaten in Vektoren mit nichtnegativen und nicht durchweg verschwindenden ganzzahligen Koordinaten mit Polynomen, die Funktionen der Elemente einer \(rN\)-Matrix, und zwar symmetrische Funktionen der Glieder jeder Zeile sind. Hier sind Sätze und Beweise vielfach nur angedeutet. \textbf{II}. Seien in einer statistischen Reihe von \(N\) Angaben mit den Merkmalen \(x_{i}\) die Mittelwerte mit \(E\) bezeichnet. Ist dann \(\overline{x}_i=x_i-E(x_i)\), dann sind die Momente \(t\)-ter Ordnung \[ \mu _t=\frac{\textstyle \sum x_i^t}{N},\;\overline{\mu }_t=\dfrac{\sum\overline{x}_i^t}{N}. \] Jede der \(\displaystyle {N\choose n}\) aus \(n < N\) Angaben \(x_{j}\) bestehenden Proben (Teilreihen) habe mit \(m\) bezeichnete Momente. Sei \(y_j=x_j-E(x_i)\), also die Abweichung vom Mittelwert der Gesamtheit, dagegen \(\overline{y}_j=y_j-E(y_j)\), somit die Abweichung des \(y_{j}\) von seinem Mittelwert innerhalb der Probe. Dann gelten die Abkürzungen \[ m_t=\frac{\textstyle \sum y_j^t}{N},\;\overline{m}_t=\dfrac{\sum\overline{y}_j^t}{N}. \] Für die ohne Berücksichtigung der Gesamtheit genommenen Werte \(x_{j}\) und \(\overline{x}_j=x_j-E(x_j)\) haben wir analog die Momente \({}'m_t\) und \({}'\overline{m}_t\). Jedes dieser \(m\) ist ein Merkmal der Proben. Demzufolge ergeben sich Momente von Momenten, z. B. \(\mu _r({}'m_t)=E({}'m_t)^r\), die übrigen Bezeichnungen analog. Es möge im folgenden \(p_i=q_i=Q_i\) sein, aber die geschlungenen Klammern (Potenzproduktsummen) der \(q_{i}\) mögen sich auf die Proben, die über die \(Q_{i}\) hingegen sich auf die Gesamtheit beziehen. Es gilt dann \[ E\{q_1q_2\dots q_s\}=k_{p_1\dots p_s}\,\{Q_1Q_2\dots Q_s\}. \] Für \(s = 1\), also Potenzsummen, gilt \(k_{p_1}=\dfrac{n}{N}\), unabhängig davon, ob bei der bekannten Darstellung der Proben nach dem Urnenschema die gezogenen Kugeln zurückgelegt werden oder nicht, also Proben mit oder ohne Wiederholung stattfinden. Der Doppel-Entwicklungssatz von Teil I gibt nun die Möglichkeit, jedes Moment von Momenten nach den \(P\)-Funktionen des Teiles I und den Potenzsummen der Gesamtheit zu entwickeln. So ergibt sich z. B. \[ \mu_3 ({}'m_1)=\frac{1}{n^3}[P_3\{3\}+3P_{21}\,\{2\}\,\{1\}+P_{111}\,\{1\}^3], \] wo die Potenzsummen auf die Gesamtheit bezogen sind. Je nachdem das Urnenschema Zurücklegung der Kugeln vorschreibt oder nicht, müssen dann für die \(P\)-Funktionen verschiedene schon in Teil I entwickelte Werte eingesetzt werden. Die Gliederung von Teil II ist: Kap. 1, Geschichte des Problems. Kap. 2, Definitionen und Bezeichnungen. Kap. 3, Anwendungen des Doppel-Entwicklungssatzes. Kap. 4, Momente der verschiedenen \(m_{1}\). Kap. 5, Momente der verschiedenen \(m_{2}\). Kap. 6, Formeltabellen. Verf. kündigt eine Erweiterung auf Proben mit mehreren gleichzeitig gemessenen Merkmalen an, wozu Teil I, Kap. 5 die Vorarbeit bildet. Eine erstklassige hochinteressante Arbeit, illustriert durch zahlreiche Beispiele und Tabellen, auf die hier nicht eingegangen werden kann. (IV 16.)