Über Gruppen mit vorgegebenen Untergruppen. (Q2598715)

Ausführliche Beweise der in einer früheren Note [C. R. Acad. Sci. URSS (2) 18, 9-10 (1938; JFM 64.0060.01)] mitgeteilten Ergebnisse. Außer dem im Referat über diese Note als Beispiel genannten Satz sei noch der folgende angeführt: Ist \[ m=q_1^{\alpha _{ 1}}\cdots q_k^{\alpha _{ k}}\;(q_1,\dots ,q_k\;\text{verschiedene Primzahlen}) \] der größte gemeinsame Teiler der Ordnungen der Gruppen \(\mathfrak G_1\) und \(\mathfrak G_2\), so sei \[ T(\mathfrak G_1, \mathfrak G_2)=\prod\limits_{i=1}^{k}\bigl(q_i^{\alpha _{ i}}-1\bigr)\;\bigl(q_i^{\alpha _{ i}-1}-1\bigr)\cdots(q_i-1); \;\text{für}\;\, m=1\;\,\text{sei}\;\, T(\mathfrak G_1, \mathfrak G_2)=1. \] Die Kommutatorgruppe der Gruppe \(\mathfrak G\) sei \(\mathfrak K\). Dann gilt: \(\mathfrak G\) ist dann und nur dann eine spezielle Gruppe, wenn es zu jedem Primteiler \(p\) ihrer Ordnung eine Reihe \[ \mathfrak G=\mathfrak N_0\supset\mathfrak N_1\supset\mathfrak N_2\supset\cdots\supset\mathfrak N_s=E \] von Normalteilern von \(\mathfrak G\) gibt mit folgender Eigenschaft: Für \(i = 1\),\dots, \(s\) ist \(T(\mathfrak N_{i-1}/\mathfrak N_i, \mathfrak K)\) teilerfremd zu dem größten gemeinsamen Teiler von \(p\) und der Ordnung von \(\mathfrak G/\mathfrak N_i\).