Neue Methoden in der Strukturtheorie der kommutativassoziativen Algebren. (Q2598731)

Verf. behandelt das Problem, alle möglichen Typen kommutativ-assoziativer Algebren mit Haupteinheit über einem beliebigen Körper K anzugeben. Man kann sich dabei auf primäre Algebren \(\mathfrak A\) beschränkten. Das Problem wird zunächst auf den Fall zurückgeführt, daß der Restklassenkörper \(\mathfrak A/\mathfrak w\) nach dem Radikal \(\mathfrak w\) eine rein-inseparable Erweiterung des durch die Elemente von \(K\) bestimmten Restklassenkörpers \(\mathfrak K\) (\(\cong K\)) ist. Die weitere Untersuchung hängt von der Minimalzahl \(\lambda\) (Inseparabilitätsrang) der bei der Erzeugung dieser Erweiterung zu \(\mathfrak K\) zu adjungierenden Elemente ab. Ist \(\lambda = 0\), so ist \(\mathfrak A\) bis auf Isomorphie eindeutig durch den Typus des Radikals bestimmt, das als beliebige (kommutativ-assoziative) nilpotente Algebra vorgegeben werden kann. Für \(\lambda > 0\) lassen sich gewisse nilpotente Algebren \(\mathfrak M\) vom Index \(r\) \(\mathfrak A\) so zuordnen, daß der Defekt \(\delta\) (Rang von \(\mathfrak M-\mathfrak M^2\)) sowie der Typus von \(\mathfrak M/\mathfrak M^3\) durch \(\mathfrak A\) eindeutig bestimmt ist. Für \(r\leqq 3\) ist also der Typus von \(\mathfrak M\) eine Invariante. Ist \(r>3\) aber \(\delta=1\), so ist eine spezielle Algebra \(\mathfrak M_0\) \(\mathfrak A\) eindeutig zugeordnet. Durch diese zugeordneten Algebren werden in diesen Fällen die möglichen Typen von Algebren \(\mathfrak A\) erfaßt. Sie lassen sich durch Angabe von vollständigen Isomorphieinvariantensystemen charakterisieren. Zum Schuß untersucht Verf., wann eine Algebra \(\mathfrak A\) als Restklassenring eines algebraischen Funktionenkörpers nach einem Divisor aufgefaßt werden kann.