Über definite Hermitesche Formen. (Q2598774)

Betrachtet werden die binären Hermiteschen Formen \[ h = ax\bar x + bx\bar y + \bar b\bar xy + cy\bar y. \tag{1} \] Dabei bedeuten \(a\) und \(c\) reelle, \(b\) und \(\bar b\) konjugiert komplexe Zahlen, und die Variablen \(x\) und \(y\) können die Werte ganzer Zahlen eines imaginär quadratischen Zahlkörpers \(k(\sqrt{-m})\) annehmen. Es sei \(h\) definit. \textit{Hermite} (J. reine angew. Math. 47 (1854), 307-368) und \textit{Picard} (Ann. sci. École norm. sup. (3) 1 (1884), 9-55; F. d. M. 16, 100) haben die Reduktionstheorie dieser Formen (1) für \(k(\sqrt{-1})\) entwickelt. Hier wird gezeigt, wie man auch für \(m > 1\) das Äquivalenzproblem löst. Ferner werden für den Fall, daß in \(k(\sqrt{- m})\) der euklidische Algorithmus gilt, solche Reduktionsbedingungen aufgestellt, daß in jeder Formenklasse \textit{genau eine} reduzierte Form existiert. Diejenigen linearen Transformationen von \(x\) und \(y\), die \(h\) in sich selbst überführen, und die in \(k(\sqrt{-m})\) ganze Koeffizienten haben, werden Automorphien genannt. Für \(m = 1, 2, 3, 7, 11\) wird die Struktur der Automorphiengruppe angegeben.