The difference between consecutive prime numbers. I. (Q2598781)

Verf. verschärft Ergebnisse von \textit{P. Erdős} [Q. J. Math., Oxf. Ser. 6, 124--128 (1935; JFM 61.0134.03; Zbl 0012.01102)] und \textit{Teh-Hsien Chang} [Schr. Math. Semin. Inst. Angew. Math. Univ. Berlin 4, 35--55 (1938; JFM 64.0103.01; Zbl 0018.00601)], indem bewiesen wird: Für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es unendlich viele Primzahlen mit \[ p_{s+1}-p_s \ge \left(\frac12-\varepsilon\right) \frac{\log p_s\log\log p}{(\log\log\log p_s)^2}\log\log\log\log p_s. \] Ferner: Es gibt zu gegebenen \(\alpha_\nu\) wenigstens \(\left(\dfrac13-\varepsilon\right)p_n\log p_n \dfrac{\log\log\log p_n}{(\log\log p_s)^2}\), \(0<\varepsilon<\dfrac13\) aufeinanderfolgende Zahlen, deren jede mindestens einer der Kongruenzen \(x\equiv \alpha_\nu \pmod{p_\nu}\), \(\nu = 1, 2,\ldots, n\), für hinreichend große \(n\) genügt. Schließlich: Zu jeder Folge von \(\left(\dfrac13-\varepsilon\right)p_n\log p_n \dfrac{\log\log\log p_n}{(\log\log p_n)^2}\) aufeinanderfolgenden Zahlen lassen sich bei hinreichend großem \(n\) stets ganze Zahlen \(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n\) so finden, daß jede Zahl der Folge einer der Kongruenzen \(x\equiv\xi_\nu\pmod{p_\nu}\), \(\nu = 1, 2,\ldots, n\), genügt. Indem zunächst die Abschätzung \(\displaystyle N(e^u)\le {\sum_{\nu\le e^u}}{}'\left(\dfrac{e^u}\nu\right)^\eta\le \dfrac{e^u}{u^{a-1-\varepsilon_1}}\) bewiesen wird, wobei \(N(m)\) die Anzahl aller ganzen \(\nu\le m\) bedeutet, die keinen Primteiler größer als \(e^{\tfrac{u\log\log u}{a\log u}}\) enthalten, in \(\sum{}'\) nur über diese \(\nu\) zu summieren ist, \(\eta>0\) und nachher speziell \(\eta=1-\dfrac{a\log u}u>\dfrac12\) und \(\varepsilon_1> 0\) ist, ergeben sich die Behauptungen durch Modifikationen des Beweisganges von Chang.