A new estimation of a trigonometrical sum containing primes. (Q2598783)

Es seien \(n\), \(k\), \(N_0\) natürliche Zahlen, und es sei \[ n > 1;\quad N_0 > 1;\quad N = N^n_0;\quad \mu = \log N. \] Weiter sei \[ f (x) = \alpha x^n+\cdots+\alpha_n \] ein Polynom \(n\)-ten Grades mit reellen Koeffizienten und \[ S=\sum_{p\leqq N_0} e^{2\pi ikf(p)}, \] wo \(p\) die Primzahlen \(\leqq N_0\) durchläuft. Es sei \[ \begin{gathered} \alpha=\frac aq+\frac\theta{q^2};\quad (a,q)=1;\quad |\theta|\leqq 1;\quad Q=\min\left(q,\frac Nq\right);\\ Q\geqq\mu^{(2n+1)\cdot 2^{6n-2}};\quad U=\min(N_0^{\frac13},Q). \end{gathered} \] Dann ist \[ |S|\leqq cN_0\left(kU^{-\tfrac1{4n+4}}\right)^{2^{-2n}}, \] wo \(c\) eine nur von \(n\) abhängige Konstante ist.