Improvement of the estimation of a trigonometrical sum containing primes. (Q2598784)

Es sei \(k\) eine natürliche Zahl; \(N>1\); \(\alpha\) reell; \[ \alpha=\frac aq+\frac\theta{q^2};\quad (a,q)=1;\quad 0<q\leqq N;\quad -1\leqq\theta\leqq +1. \] Verf. beweist: 1) Falls \(p\) die Primzahlen \(\leqq N\) durchläuft, so ist für jedes \(\varepsilon > 0\): \[ |\sum_p e^{2\pi i\alpha kp}|\leqq cN^{1+\varepsilon} \sqrt{N^{-\frac13}+\frac qN+\frac kq+\frac{k^4}{q^2}}, \] wo \(c\) nur von \(\varepsilon\) abhängt. 2) Es sei \(0\leqq\delta\leqq 1\). Es sei \(T\) die Anzahl der Primzahlen \(p\leqq N\), für die \[ \alpha p-[\alpha p]\leqq\delta \] ist. Dann ist \[ | T - \delta\pi(N)|\leqq c_1 N^{1+\varepsilon_1} \sqrt{N^{-\frac13}+\frac qN+\frac 1q}, \] wo \(c_1\) nur von \(\varepsilon_1\) abhängt (\(\pi(N)\) ist die Anzahl der Primzahlen \(\leqq N\)).