Estimation of certain sums containing primes. (Q2598785)

Beweis zweier Sätze über Abschätzungen trigonometrischer Summen: Sats 1. Es seien \(n\), \(N\), \(k\), \(a\), \(q\) ganze Zahlen, \(n>2\), \(N>1\), \(k>0\), \(q>0\), \((a,q) = 1\), \(\mu = \log N\) und \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\), \(\theta\) reelle Zahlen, \(f(x) =\alpha_nx^n+\cdots+\alpha_1x\), \(\alpha_n=\dfrac aq+\dfrac\theta{q^2}\), \(|\theta|\leqq 1\), \(\text{Min}\left(q,\dfrac{N^n}q\right)\ll e^{\sqrt\mu}\). Für die Summe \[ S=\sum_{p\leqq N} e^{2\pi ikf(p)}\qquad \text{ (\(p\) durchläuft alle Primzahlen \(\leqq N\))} \] gilt die Abschätzung \[ S\ll N\left(\frac{k^2}q+\frac{k^2q}{N^2}\right)^\gamma\mu^{\frac 32}\log\mu \qquad \text{mit}\qquad \gamma=(39\cdot 9n^6(\log n)^2)^{-1}. \] Satz 2. Es seien wieder \(N\), \(k\), \(a\), \(q\) ganze Zahlen, \(N > 1\), \(k > 0\), \(q > 0\), \((a, q) = 1\), \(\mu = \log N\) und \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\theta\) reelle Zahlen, \(f(x)=\alpha_2x^2+\alpha_1x\), \(\alpha_2=\dfrac aq+\dfrac\theta{q^2}\), \(|\theta|\leqq 1\). Für die Summe \(S =\sum\limits_{p\leqq N} e^{2\pi ikf(p)}\) (\(p\) durchläuft alle Primzahlen \(\leqq N\)) gilt die Abschätzung \(S\ll N\left(\dfrac{k^4}N+\dfrac{k^4}q+\dfrac{k^4q}{N^2}\right) ^{\frac 1{32}}\mu^{\frac72\log\mu}\). Ist überdies \(\text{Min}(q, N^2q^{-1})\ll e^{\sqrt\mu}\), so gilt \(S\ll N\left(\dfrac{k^3}q+\dfrac{k^3q}{N^2}\right)^{\frac1{24}}\mu^2\). (Nach dem Auszug referiert.)