On the functions \(\zeta(s)\) and \(\pi(x)\). (Q2598787)

Verf. gibt die Abschätzung \[ \sum_{x=P+1}^{P+X}e^{2\pi if(x)}=O\left(n^c\mu q^{-\tfrac{A}{n^4\log n}}\log^2q+q^{\tfrac1{n-1}}\right), \] wo \(f(x) =a_nx^n+\cdots+a_0\) ein Polynom mit reellen Koeffizienten und vom Grade \(n\geqq 10\) ist. Weiter ist Mer \[ q=|a_n|^{-1}>8n,\qquad q^{\tfrac 1n}\leqq\mu\leqq\frac q{2n}. \] \(P\) und \(X\) sind ganze Zahlen, \(0<X\leqq\mu\), und \(A\) und \(c\) sind positive Konstanten. Diese Abschätzung liefert: Falls \[ \tfrac34<\eta<\alpha<1,\qquad 0<1-\gamma\eta<\alpha-\eta,\qquad \sigma\geqq1-(\log t)^{-\eta} \] ist, so ist \[ \zeta(s)=O(e^{\varPhi(t)}),\quad \varPhi(t)=O((\log t)^{1-\gamma\eta})\qquad (s=\sigma+it). \] Aus diesem Satz kann geschlossen werden: \[ \zeta(s)\neq 0\qquad \text{für} \qquad \sigma\geqq 1-c(\log t)^{-\alpha}. \] Für \(\pi(x)\) hat dies zur Folge: \[ \pi(x)=Li(x)+O(xe^{-c(\log x)^\mu})\qquad \left(\mu<\frac47\right). \] (IV 4 D.)