On a series of Lambert's type. (Q2598789)

Es sei \[ F_\nu(z)=\sum_{n=1}^\infty d_\nu(n)e^{2\pi inz}\qquad (z=x+iy) \] wo \(d_\nu(n)\) die Anzahl der Zerlegungen von \(n\) in ein Produkt von \(\nu\) positiven Faktoren ist. Verf. untersucht das Verhalten von \(F_3(z)\), falls \(z\) sich einem rationalen Punkt \(\dfrac hk\) auf der reellen Achse nähert. Hier sind \(h\) und \(k\) ganz und \(0 < h < k\), \((h, k) = 1\). Für \(y > 0\), \(y\to 0\) ist dann \[ F_3\left(\frac hk+\frac{ik}{2\pi}\right)= \frac{a_0+a_1\log y+a_2\log^2y}{ky}+ O(k^2\log^2k)+O(y^\varepsilon k^{2+3\varepsilon}\log k), \] wo \[ a_0=O(d_3(k)\log^2k),\qquad a_1=O(d(k)\log k),\qquad a_2=O(d(k)) \] und \(1>\varepsilon> 0\) ist. Für \(\nu=2\) (die Lambertsche Reihe) hatte \textit{Estermann} ein ähnliches Resultat erhalten (Proc, London math. Soc. (2), 29 (1929), 453-478 und 31 (1930), 123-133; F. d. M. \(55_{\text I}\), 107; \(56_{\text I}\), 174).