La répartition modulo 1 et les nombres algébriques. (Q2598813)

Eine Reihe sehr bemerkenswerter Ergebnisse über die Verteilung der Zahlen einer Folge modulo 1, insbesondere, wenn die Zahlen der Folge einer linearen Rekursionsformel mit konstanten Koeffizienten genügen. Ein erster Satz lautet: ``Sei \[ u_{n+r}+\beta_1 u_{n+r-1}+\cdots+\beta_r u_n=0 \] eine Rekursionsformel mit den charakteristischen Wurzeln \(\alpha_1,\ldots,\alpha_r\), deren absolute Beträge größer als 1 seien; ihre allgemeine Lösung \(u_n\) hängt in bekannter Weise von \(r\) willkürlichen Parametern ab. Sei ferner \(\gamma_1,\gamma_2,\ldots\) irgend eine Zahlenfolge. Dann gibt es für die Parameter höchstens abzählbar viele Wertsysteme derart, daß eine Folge ganzer Zahlen \(g_1, g_2,\ldots\) existiert, für die \[ |u_n-\gamma_n-g_n|<\frac12 \prod_{\nu=1}^r\frac1{|\alpha_\nu|+1}\qquad (n=1, 2, 3, \ldots ) \] ist''. Das Beweisprinzip ist überraschend einfach und soll hier für \(r=1\) erläutert werden. Dann handelt es sich um die Rekursionsformel \(u_{n+1} -\alpha u_n = 0\) mit der allgemeinen Lösung \(u_n=\lambda \alpha^n\). Wenn nun \[ |\lambda\alpha^n-\gamma_n-g_n|<\frac12\frac1{|\alpha|+1}, \quad |\lambda\alpha^{n+1}-\gamma_{n+1}-g_{n+1}|<\frac12\frac1{|\alpha|+1}, \] so folgt hieraus durch Elimination des Parameters \(\lambda\): \[ |\alpha(\gamma_n+g_n)-\gamma_{n+1}-g_{n+1}|<\tfrac12. \] Daher ist die ganze Zahl \(g_{n+1}\) durch \(g_n\) eindeutig bestimmt. Zu einer Anfangszahl \(g_1\) gibt es also \textit{höchstens eine} zugehörige Folge \(g_1, g_2,\ldots\), und hierzu wegen \(|\alpha| > 1\) \textit{höchstens einen} Parameterwert \(\lambda\), nämlich \[ \lambda=\lim_{n\to\infty}\frac{\gamma_n+g_n}{\alpha^n}. \] Ein weiterer Satz ist folgender: ``Sei \[ u_n=\lambda_1\alpha_1^n+\cdots+\lambda_r\alpha_r^n \] das allgemeine Glied einer Folge, wobei die \(\lambda_1,\ldots,\lambda_r\) feste Zahlen, die \(\alpha_1,\ldots,\alpha_r\) aber willkürliche Parameter sind. Sei ferner \(\gamma_1, \gamma_2,\ldots\) irgend eine Zahlenfolge. Dann gibt es in jedem abgeschlossenen Bereich der Parameter, in dem alle \(\alpha_\nu\) voneinander verschieden und absolut größer als 1 sind, höchstens abzählbar viele Parameterwertsysteme derart, daß eine Folge ganzer Zahlen \(g_1, g_2,\ldots\) existiert, für die von einem gewissen \(n\) an gilt: \[ |u_n-\gamma_n-g_n|<\frac{n-r}{(2+\varepsilon)n} \prod_{\nu=1}^r\frac1{|\alpha_\nu|+1}. \] Sehr bemerkenswert sind auch die Anwendungen auf algebraische Zahlen; sie beruhen noch wesentlich auf dem Satz, daß die Zahlen einer Folge \(a_1, a_2,\ldots\), falls die Reihe \[ \sum_n|a_{n+r}+\beta_1a_{n+r-1}+\cdots+\beta_ra_n|^2 \] konvergiert, einer Rekursionsformel mit konstanten Koeffizienten genügen. Von den Resultaten sei folgender Satz hervorgehoben: ``Sei \(\alpha>1\) und \(\varepsilon>0\); wenn es dann eine Folge ganzer rationaler Zahlen \(a_0, a_1,\ldots\) gibt derart, daß \[ a_0>\frac1{\alpha-1},\qquad |a_{n+1}-\alpha a_n|<\frac1{a_n^\varepsilon}\qquad (n=0,1,2, \ldots ), \] so ist \(\alpha\) eine ganze algebraische Zahl höchstens vom Grad \(1+\dfrac1\varepsilon\). Gleich \(1+\dfrac1\varepsilon\) ist der Grad nur, wenn \(\alpha\) eine Einheit eines quadratischen Körpers ist oder eines kubischen Körpers, dessen konjugierte Körper imaginär sind. Sehr eigenartig und überraschend ist schließlich das folgende Transzendenzkriterium, für das der Beweis allerdings nur angedeutet ist: ``Die reelle Zahl \(\lambda\) ist dann und nur dann transzendent, wenn die Reihe \[ \sum_n\sin^2(\lambda\pi x^n) \] für alle reellen \(x\geqq 1\) divergiert.