La régularisation des fonctions. (Q2598872)

Es sei \(f(x)\) für \(x \geqq 0\) definiert und \(> 0\); \(f\) darf Werte \(\infty\) annehmen; die Menge der Punkte, in denen \(f\) endlich ist, soll abgeschlossen und nicht beschränkt sein; schließlich soll für \(\varepsilon > 0\) \[ \lim_{\varepsilon \to 0}\operatornamewithlimits{\underline{fin}}\limits_{x-\varepsilon < t \leqq x}f(t)\leqq \lim_{\varepsilon \to 0}\operatornamewithlimits{\underline{fin}}\limits_{x< t <x+\varepsilon}f(t) \] sein. Die regularisierte Funktion zu \(f(x)\) läßt sich geometrisch so interpretieren: Es wird in der \(x\), \(y\)-Ebene die Menge \(E (t,a)\) der Punkte \[ 0\leqq x \leqq \omega(t), \quad y \leqq a + tx \] gebildet, die keinen Punkt \(x\), \(f(x)\) enthält. Es sei \(U\) die Vereinigungsmenge aller dieser \(E(t,a)\) und \(S\) die Komplementärmenge von \(U\) in bezug auf die Halbebene \(x\geqq 0\). Die Grenzpunkte von \(S\) definieren dann die regularisierte Funktion zu \(f(x)\). Es wird auch eine analytische Definition gegeben. Ferner wird gezeigt, bei welchen Gelegenheiten die regularisierten Funktionen und die für sie hergeleiteten Sätze verwendet werden können.