Zum Taylorschen Satz. (Q2598942)

Verf. gibt für die auf \(\langle a, \,x \rangle\) mit ihren ersten \(\nu+1\) Ableitungen stetige Funktion \(f(x)\) unter Verwendung mehrfacher Integrale eine Herleitung des Taylorschen Satzes, bei der das Restglied in der auf Johann Bernoulli zurückgehenden Integralform erscheint: \[ f(x)=\sum_{k=0}^{\nu} \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + \int\limits_{a}^{x} \frac{(x-u)^{\nu}}{\nu!} f^{(\nu+1)}(u) \,du. \] Anschließend gibt Verf. am Beispiel der Funktionen cos \(\varphi\) und sin \(\varphi\) eine geometrische Veranschaulichung des Bernoullischen Restgliedes mit Hilfe der sogenannten Schellbachschen Spirale (\textit{Schellbach}; Z. reine angew. Math. 16 (1837), 363-365; 17 (1837), 321-330), die er hier in gewisser, als ``schiefe'' Schellbachsche Spirale bezeichneter Verallgemeinerung herleitet: Es bedeute \(P_0(\varphi)\) den Punkt des Einheitskreises mit den Koordinaten cos \(\varphi\), sin \(\varphi\). Durch Abwicklung des Kreisbogens mit den Endpunkten \(P_0 (t)\) und \(P_0 (\varphi)\) um den Winkel \(\varphi-t\) entsteht ein Evolventenbogen mit dem Anfangspunkt \(P_0 (\varphi)\), dessen Endpunkt \(P_1(\varphi, \,t)\) heiße; durch Abwicklung dieses ersten Evolventenbogens im gleichen Sinne entsteht ein zweiter \(P_0 (\varphi), \cdots P_2(\varphi, \,t)\), durch dessen Abwicklung ein dritter mit dem Endpunkt \(P_3 (\varphi, \,t), \cdots\). So entsteht eine Punktfolge \(P_0 (\varphi), \,P_1(\varphi, \,t), \,P_2(\varphi, \,t),\) \(\ldots \!, P_{\nu}(\varphi, \,t)\), die in dieser Reihenfolge einen Polygonzug, die schiefe Schellbachsche Spirale, ergibt. Für \(t = 0\) erhält man die ``gerade'' Schellbache Spirale. Die Abszissen der Punkte \(P_0 (\varphi), \ldots \!, P_{\nu}(\varphi, \,t)\) sind die Glieder der Taylorschen Entwicklung von cos \(\varphi\) nach Potenzen von \(\varphi-t\), die Ordinaten die Glieder der entsprechenden Entwicklung von sin \(\varphi\); die Koordinaten des von \(P_{\nu}(\varphi, \,t)\) nach \(P_0 (\varphi)\) führenden Vektors sind die Bernoullischen Restglieder für cos \(\varphi\) und sin \(\varphi\) in diesen Entwicklungen.