On some systems of polynomials. (Q2598989)

\(C\) sei eine einfach geschlossene analytische Kurve in der \(z\)-Ebene. Die Funktion \[ z=G(w)=gw+g_0+\frac{g_1}{w}+\cdots, \qquad g>0, \] möge das Gebiet \(|\, w \,| > 1\) auf das Äußere des von \(C\) eingeschlossenen Gebiets abbilden. \(w = \gamma(z)\) vermittle die Umkehrung dieser Abbildung. \[ \alpha(w)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\alpha_{k-1}}{(gw)^{k-1}}, \quad \alpha_{-1}=1, \] sei eine analytische Funktion, \(\alpha(w)-gw\) regulär für \(|\, w \,| > 1\) und \(\alpha(w) \neq 0\) für \(|\, w \,| > 1\). Polynome \(\{ \varPhi_n(z) \}\), die durch \[ z \varPhi_n(z) = \varPhi_{n+1}(z) + \sum_{k=0}^{\infty} g^k g_k \varPhi_{n-k}(z) - \alpha_n \; (n=0,1,\ldots), \quad \varPhi_0=1, \] definiert sind, werden Polynome der Klasse \(F^*\) genannt; sie stellen eine Verallgemeinerung der Faberschen Polynome dar. \(\{ P_n^*(z) \}\) sei ein System von Polynomen, für die mit einer auf \(C\) positiven und stetigen Funktion \(r(z)\) \[ \int\limits_{C} r(z)\, P_i^*(z)\, \overline{P_k^*(z)}\,|\, dz \,| = \left\{ \begin{aligned} & 0 \quad \text{für} \quad i \neq k \\ & 1 \quad \text{für} \quad i = k \end{aligned} \right. \] gilt. Ferner sei \[ Q_n^*(y)=\int\limits_{C} r(z) \frac{\overline{P_n^*(z)}}{y-z}\,|\, dz \,| \qquad (n=0,1,\ldots), \] wo \(y\) außerhalb \(C\) liegt. Verf. beweist, daß die folgenden drei Beziehungen dann und nur dann gelten, wenn die orthogonalen Polynome \[ P_n(z)=c_n P_n^*(z)=z^n+\cdots \qquad (n=0,1,\ldots) \] zur Klasse \(F^*\) gehören: I. \(\qquad \qquad \qquad Q_n^*(G(t))=\beta_n\dfrac{Q_0^*(G(t))}{(gt)^n} \qquad (n=0,1,\ldots)\), II. \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad P_n^*(y) \equiv S_n^*(y) \qquad (n=0,1,\ldots)\), \noindent wo die Polynome \(S_n^*(y)\) durch \[ S_n^*(y)\,Q_n^*(y) =\frac{\gamma'(y)}{\gamma(y)} + \left( \left( \frac{1}{y^{n+2}} \right) \right) \quad (n=0,1,\ldots) \] definiert sind. III. \(\qquad \qquad \qquad \int\limits_{C} r(z) \dfrac{P_n^*(y)-P_n^*(z)}{y-z}\,|\, dz \,|= \lambda_n \dfrac{d}{dy} \varPhi_n^{(1)}(y)\), \noindent wo \(\varPhi_n^{(1)}(y)\) die Faberschen Polynome erster Art sind. Insbesondere ergibt sich, daß die von \textit{G. Szegö} (Trans. Amer. math. Soc. 37 (1935), 196-206; F.~d.~M. 61\(_{\text{I}}\), 375) angegebenen fünf Typen von Polynomen, die gleichzeitig auf mehreren Kurven orthogonal sind, zur Klasse \(F^*\) gehören. Weiterhin werden einige Sätze über Fabersche Polynome erhalten.