Sur les familles de fonctions localement univalentes dans le cercle-unité. (Q2599022)

Die Arbeit bringt eine ausführliche Darstellung von Untersuchungen, über die Verf. bereits kurz berichtet hat (C. R. Acad. Sci., Paris, 206 (1938), 413-415; JFM 64.0307.*). Nach \textit{P, Montel} (Ann. sci. École norm. sup. (3) 54 (1937) 39-54; JFM 63.0290.*) heißt eine in \(|z|<1\) analytische Funktion \[ f (z) = z + a_2z^2+\cdots +a_nz^n+\cdots \] dort im kleinen schlicht mit dem lokalen Schlichtheitsmodul \(\varrho \) (\(0 < \varrho \leqq 1\)), wenn sie in jedem im Einheitskreis gelegenen Kreis vom Radius \(\varrho \) schlicht ist. Für festes \(\varrho \) sei die Klasse dieser Funktionen kurz mit \(E_\varrho \) bezeichnet, die Klasse ihrer \(n\)-ten Ableitungen mit \(E_\varrho ^{(n)}\). Die Beträge der Werte, welche die in \(E_\varrho ^{(n)}\) enthaltenen Funktionen auf einem Kreis \(|z| = r\) (\(0\leqq r < 1\)) annehmen, besitzen eine endliche obere Grenze \(M_n(r, \varrho )\). Von dieser in \(0\leqq r < 1\), \(0<\varrho \leqq 1\) definierten Funktion \(M_n(r, \varrho )\) wird nachgewiesen: 1) \ Für festes \(\varrho \) ist \(M_n(r, \varrho )\) eine in \(0\leqq r < 1\) stetige Funktion von \(r\), und es ist log \(M_n(r, \varrho )\) in \(0 <r<1\) eine konvexe Funktion von log\,\(r\). Aus dem Bestehen der Beziehung \[ \varrho _1^{n-1}\,M_n (r\varrho _1,\varrho _1) \leqq \varrho _2^{n-1}\,M_n (r\varrho _2,\varrho _2)\qquad\;(0\leqq r< 1,\;0<\varrho _1\leqq \varrho _2\leqq 1) \] folgt ferner, daß \(M_n(r, \varrho )\) für festes \(r\) eine in \(0<\varrho \leqq 1\) stetige Funktion von \(\varrho \) ist. Danach ist schließlich \(M_n(r, \varrho )\) eine in \(0<r<1\), \(0<\varrho \leqq 1\) stetige Funktion von \(r\) und \(\varrho \). 2) \ Für alle \(r\) und \(k\) mit \[ r\leqq 1-\varrho,\qquad \varrho \leqq \frac {1}{k}\leqq 1-r \] gilt die Ungleichung \[ M_n(r, \varrho )\leqq k^{n-1}\,M_n(0, k\varrho )\,M_1(r, \varrho )\qquad\;(n\geqq 1). \] Diese Ungleichung ergibt sich aus einer analogen Beziehung für den Betrag der \(n\)-ten Ableitung einer beliebigen Funktion aus \(E_\varrho \). Ihr läßt sich insbesondere für die zweite Ableitung die Existenz einer positiven Zahl \(\varDelta (\varrho )\) entnehmen, mit der für alle Funktionen \(f(z)\) aus \(E_\varrho \) \ (\(0 < \varrho < 1\)) \[ \Bigl|\,\frac {f^{\prime\prime }(z)}{f'(z)}\,\Bigr| \leqq \frac {4}{\varrho } -\varDelta (\varrho )\quad \text{für}\quad |z|\leqq 1-\varrho \] gilt. Es folgen noch Bemerkungen über diejenigen Funktionen aus \(E_\varrho \), welche bei einer linearen Transformation des Einheitskreises in sich wieder in Funktionen aus \(E_\varrho \) übergehen.