Sur certaines propriétés des fonctions univalentes et leurs applications à la théorie des sillages. (Q2599034)

Verf. untersucht Randeigenschaften von Funktionen, die ein gegebenes einfach zusammenhängendes Gebiet auf die schlichte Halbebene konform abbilden. Sei \(\gamma \) eine stückweise glatte Kurve, die den Punkt \(z=\infty \) enthält. Die Funktion \(w= f(z,\gamma )\). welche das von \(\gamma \) begrenzte Gebiet \(D (\gamma )\) auf die Halbebene \(\mathfrak Fw < 0\) abbildet, so daß \(f\,(\infty, \gamma ) = \infty \), \(|f'\,(\infty, \gamma )| = 1\), besitze in der Umgebung von \(z = \infty \) eine stetige Ableitung. Wenn dann \(D(\gamma )\) das Gebiet \(D(\bar\gamma )\) enthält und \(\gamma \) und \(\bar\gamma \) einen gemeinsamen Punkt \(z_0\) haben, wo \(f'(z_0, \gamma )\) und \(f'\,(z_0, \bar\gamma )\) existieren und \(\neq 0\) sind, so ist \(|f'\,(z_0, \bar\gamma )|\leqq |f'\,(z_0, \gamma )|\); und hier gilt das Gleichheitszeichen nur dann, wenn \(\gamma \) und \(\bar\gamma \) identisch sind. Mit Hilfe dieses Hilfssatzes werden Ungleichungen für die Ableitungen \(V' (s)\) und \(\dfrac {d^2\,\log\,V(s)}{ds^2}\) abgeleitet, wo \(|f'\,(z, \gamma )|\) durch \(V (s)\) als Funktion der Bogenlänge \(s\) von \(\gamma \) bezeichnet ist. Die Abschätzung hängt nur vom Krümmungsradius von \(\gamma \) im. betreffenden Punkt und vom ``Erreichbarkeitsgrad'' dieses Randpunktes ab. Die erhaltenen Resultate werden zur Untersuchung von Stromlinien einer idealen Flüssigkeit angewandt. U. a. werden gewisse Existenzsätze und Eindeutigkeitssätze hierüber bewiesen. (VI 4 B.)